Лекции по АиГ / Alg_01

Алгебра матриц.

Алгебраические операции над матрицами.

Будем рассматривать прямоугольные матрицы с числовыми элементами. Введем следующие обозначения. Запись A = ||a_ij||ÎMat_m´n(‘R) означает, что A – матрица из l(A) = m строк и c(A) = n столбцов (размера m´n) с вещественными элементами a_ij = (A)_ij. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n. При выполнении некоторых условий определены линейные операции над матрицами (сложение матриц и умножение матрицы на скаляр из R), а также умножение и деление матриц друг на друга.

Если A и B две матрицы одного размера, то их можно сложить “покомпонентно”: (A+B)_ij = A_ij+B_ij. Аналогично определяется умножение на скаляр: (lA)_ij = l(A)_ij. Поскольку выполнение линейных операций над матрицами сводится к операциям сложения и умножения чисел, их свойства в точности совпадают со свойствами соответствующих числовых операций. Отметим только, что роль числа 0 выполняет нулевая матрица O_m´n.

Определим теперь операцию перемножения матриц. Пусть в начале A = (a₁,…,a_n) – матрица размера 1´n и B = -матрица размера n´1. Их произведением (по определению) будет число c = , которое можно рассматривать, как матрицу размера 1´1. Пусть теперь A и B – произвольные матрицы, и выполнено условие c(A) = l(B) (=n). Тогда определена матрица CÎMat_p´q с элементами c_ij = l_i(A)c_j(B). Здесь p = l(A); q = c(B). Заметим, что отсюда вытекают равенства: l_i(C) = l_i(A)B и c_j(C) = Ac_j(B).

Свойства операции умножения матриц.

1a) (lA)B = l(AB) 1b) A(lB) = l(AB)

2a) (A+B)C = AB+AC 2b) A(B+C) = AB+AC. (распределительный закон или свойство дистрибутивности)

3) (AB)C = A(BC). (сочетательный закон или свойство ассоциативности).

Каждое из этих свойств проверяется прямым сравнением элементов матриц, стоящих в обеих частях соответствующего равенства.

Полная формулировка каждого из этих законов может быть дана в следующей форме: “Если заданы такие матрицы A, B,…, что определена одна из частей равенства, то определена и другая часть и они равны между собой”.

Проверим, например, свойство 3).

Левая часть рассматриваемого равенства определена, если c(A) = l(B) и c(AB) = l(C). Учитывая, что c(AB) = c(B), приходим к равенствам: c(A) = l(B) и c(B) = l(C). Правая часть определена при c(A) = l(BC) и c(B) = l(C), что приводит к тем же условиям.

Сравним теперь элементы матриц, стоящих в 3) слева и справа. ((AB)C)_ij = = = .

(A(BC))_ij = = = .

Равенство этих сумм вытекает из распределительного закона умножения и переместительного закона сложения действительных чисел.

Тот факт, что умножение матриц обладает свойством ассоциативности, позволяет определить произведение не только двух, но и любого числа матриц. Нахождение такого произведения сводится к нескольким операциям умножения двух матриц, причем можно произвольно выбирать способ такого сведения, лишь бы порядок сомножителей не нарушался. Например, ABCD = (AB)(CD) = A((BC)D) = … .В частности, для всякой квадратной матрицы A определены ее степени A², A³, … и имеют место обычные свойства степеней: AⁿA^m = A^n+m и

(Aⁿ)^m = A^nm. Дадим теперь следующее определение.

Единичной матрицей E_n порядка n называется такая квадратная матрица указанного порядка, что . Непосредственно проверяется, что для всякой матрицы A размера m´n имеют место равенства: E_mA = A и AE_n = A, так что единичная матрица играет роль числа 1 для операции умножения матриц.

Отметим, что для умножения матриц закон переместительности (свойство коммутативности), вообще говоря, не имеет место. Прежде всего, произведение AB определено при c(A) = l(B), в то время как BA определено при условии l(A) = c(B), так что одно из этих произведений может существовать, а другое – нет. Если существуют оба произведения, то c(A) = l(B) = n, l(A) = c(B) = m и при n¹m матрицы AB и BA имеют разные порядки и потому не могут быть равными. Наконец, если n = m, так что матрицы A и B квадратные одного порядка, то равенство AB = BA может иметь место, но выполняется далеко не всегда. Например, если A = , B = , то AB = A, BA = O. Матрицы, для которых AB = BA называются коммутирующими. Так, например, степени одной квадратной матрицы коммутируют между собой, единичная матрица коммутирует с любой квадратной матрицей и т.д.

В дальнейшем нам потребуется еще одна операция над матрицами. Пусть AÎMat_m´n. Матрица B = A^t размера n´m называется транспонированной (по отношению к A), если b_ij = a_ji. Очевидно, что (A+B)^t = A^t + B^t и (lA)^t = lA^t. Проверим, что (AB)^t = B^tA^t. В самом деле: ((AB)^t)_ij = (AB)_ji = . В то же время, (B^tA^t)_ij = = . Равенство этих сумм вытекает из свойства коммутативности умножения чисел.

Связь с элементарными преобразованиями строк матрицы.

Напомним, что элементарные преобразования строк бывают трех типов: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к одной строке кратного другой строки.

Теорема.

Пусть Á - некоторое элементарное преобразование строк или композиция нескольких таких преобразований. Тогда: Á(AB) = Á(A)B.

Доказательство.

Обозначим через U = U(i, j, a, b) следующее преобразование строк:

l_k(U(A)) = l_k(A) при k ¹i, l_i(U(A)) = al_i(A) + bl_j(A).

Выбирая b=0, мы получаем элементарное преобразование строк II типа; взяв a=1, получим преобразование III типа. Преобразование I типа можно получить как композицию нескольких таких преобразований:

® ® ® ®

Следовательно, теорему достаточно доказать для случая, когда Á = U и проверить, что если она верна для преобразований Á₁ и Á₂, то будет справедлива и для их композиции. Итак, пусть Á = U. Тогда при k¹i:

l_k(U(AB)) = l_k(AB) = l_k(A)B и l_k(U(A)B) = l_k(AB) = l_k(A)B. Если же k = i, то l_i(U(AB)) = al_i(AB) + bl_j(AB) = al_i(A)B + bl_j(A)B и l_i(U(A)B) = l_i(U(A))B = (al_i(A) + bl_j(A))B. Полученные выражения равны, так как для умножения матриц справедлив распределительный закон.

Предположим теперь, что Á_n(AB) = Á_n(A)B при n = 1 и 2. Тогда: Á₂Á₁(AB) = Á₂(Á₁(AB)) = Á₂(Á₁(A)B) = Á₂(Á₁(A))B = (Á₂Á₁(A))B, что и завершает доказательство.

Следствие.

Пусть Á такое же, как и в формулировке теоремы. Тогда имеем: Á(A) = Á(EA) = Á(E)A = PA. Мы видим, что выполнение элементарных преобразований строк сводится к умножению матрицы (слева) на некоторую матрицу P, которая получается, если ту же последовательность элементарных преобразований применить к единичной матрице E. Напомним, что матрицы, которые можно получить друг из друга элементарными преобразованиями строк, называются эквивалентными. Следовательно, если A~B, то B = PA, где P~E.

Обратная матрица.

В этом разделе будут рассматриваться исключительно квадратные матрицы одного порядка n.

Определение.

Матрица A порядка n называется вырожденной, если rk(A) < n. В противном случае (если rk(A) = n) матрица называется невырожденной.

Всякая вырожденная матрица эквивалентна ступенчатой матрице S, у которой последняя строка – нулевая: l_n(S) = O. Главный ступенчатый вид любой невырожденной матрицы A – единичная матрица: A~E.

Теорема.

Следующие утверждения равносильны:

1. A – вырожденная матрица;

2. A^t – вырожденная матрица

Доказательство.

Пусть матрица A вырождена. Тогда A~S, причем l_n(S) = O. Это можно записать формулой: PA = S, где P~E и потому все строки P ненулевые. Перейдем к транспонированным матрицам: A^tP^t = S^t. Последний столбец матрицы S^t нулевой, поэтому A^tc_n(P^t) = O. Следовательно, система линейных уравнений A^tx = O имеет ненулевое решение. По теореме Кронекера-Капелли это возможно только, если rk(A^t)<n, то есть матрица A^t – вырождена.

Обратно, если A^t–вырожденная матрица, то, по только что доказанному, такой же будет и матрица (A^t)^t = A.

Теорема о существовании обратной матрицы.

Рассмотрим следующие матричные уравнения с неизвестными матрицами X и Y:

AX = E (1)

YA = E (2)

Если A вырожденная матрица, то ни одно из этих уравнений решений не имеет. Если A невырождена, то каждое из этих уравнений имеет единственное решение, и эти решения совпадают: X = Y.

Доказательство.

Допустим, что A вырождена, а уравнение (1) имеет решение. Тогда найдется такая матрица P, что PA = S, причем последняя строка S нулевая. Умножая обе части равенства на X, имеем: (PA)X = S. Используя свойство ассоциативности, получаем: S = P(AX) = PE =P. Это равенство приводит нас к противоречию поскольку P~E и потому не может иметь нулевую строку.

Если решение имеет уравнение (2), то переходя к транспонированным матрицам, получаем A^tY^t = E, что невозможно по доказанному выше, так как A^t вырожденная матрица.

Если известно, что A невырождена, то приводя ее к главному ступенчатому виду, находим такую матрицу P, что PA = E. Таким образом, Y = P – решение уравнения (2). Если же к тому же виду привести (невырожденную!) матрицу A^t, то получим: QA^t = E. Отсюда следует, что AQ^t = E, так что X = Q^t – решение уравнения (1).

Теперь докажем единственность. Пусть AX₁ = E и AX₂ = E. Вычитая из одного равенства другое, получаем: A(X₁-X₂) = O. Если это равенство домножить на матрицу Y, которая является решением (2), то получим (YA)(X₁-X₂) = O и потому X₁ = X₂. Аналогично доказывается единственность решения второго уравнения.

Наконец, составим выражение (YA)X = EX =X. Используя ассоциативность то же произведение можно записать в виде: Y(AX) = YE =Y. Итак, X = Y, как и утверждалось.

Определение

Матрица X (= Y), о которой шла речь в теореме, называется матрицей обратной к A и обозначается A^-1. Таким образом, обратная матрица A^-1 существует тогда и только тогда, когда матрица A невырождена, обратная матрица определена однозначно и характеризуется равенствами: AA^-1 = A^-1A = E.

Замечание.

В процессе доказательства был получен способ фактического нахождения обратной матрицы. Если Á - такая последовательность элементарных преобразований строк, что Á(A) = E, то Á(E) = A^-1. Символически: , где T – последовательность элементарных преобразований строк. Такой способ нахождения обратной матрицы называется методом Гаусса.

В заключение приведем формулу для обратной матрицы, если A невырожденная матрица второго порядка. Ее можно проверить непосредственным перемножением этих матриц.

. Из этой формулы вытекает, в частности, что условия A невырождена и detA¹0 для матриц второго порядка равносильны.