Лекции по АиГ / Alg_04

Многочлены над полями R и C.

Основной результат о многочленах с комплексными коэффициентами – теорема Гаусса:

Теорема.

Всякий многочлен pÎC[x] положительной степени имеет корень aÎC.

Теорема Гаусса устанавливает важнейшее свойство поля комплексных чисел, благодаря которому эти числа оказываются незаменимым математическим инструментом. В доказательстве этой теоремы решающую роль играет понятие непрерывности, не относящееся к алгебре, поэтому в нашем курсе мы ее доказывать не будем.

Пользуясь теоремой Гаусса можно разложить на множители любой многочлен над полями R и C. В начале установим один технический результат

Теорема.

Если p(x) – многочлен с действительными коэффициентами, то его значения в комплексно-сопряженных точках сопряжены между собой.

Доказательство.

Напомним, что = и = . Поэтому: = = = p() Последнее равенство выполнено потому, что все коэффициенты a_i – действительные числа.

Теорема (о разложении многочлена на множители).

1. Всякий многочлен степени n³0 над полем комплексных чисел можно разложить в произведение множителей первой степени: p(x) = k(x-a₁)…(x-a_n). Здесь kÎC и каждое число a_iÎC – корень p(x).

2. Всякий многочлен степени n³0 над полем действительных чисел можно разложить в произведение множителей первой и второй степени: p(x) = k(x-a₁)…(x-a_s)(x²+p₁x+q₁)…(x²+p_tx+q_t). Здесь kÎR, каждое число a_iÎR – корень p(x) и квадратные трехчлены x²+p_jx+q_j с действительными коэффициентами не имеют корней в поле R.

Доказательство этих утверждений проходит параллельно. Проведем индукцию по n. Если n = 0, то p(x) = k и доказывать нечего. Пусть теорема уже установлена для многочленов степени меньше n над полем k (=C или R). Рассмотрим случай многочлена степени n³1. По теореме Гаусса p(x) имеет корень a и потому (x-a)|p(x). Значит, p(x) = (x-a)p₁(x). Если aÎk, что всегда выполнено при k=C, то, применяя предположение индукции к многочлену p₁(x), мы завершаем доказательство. Остается рассмотреть случай, когда aÏR, а многочлен имеет действительные коэффициенты. В этом случае также является корнем p(x). Поскольку , мы получаем . Следовательно, p₁(x)=(x-)p₂(x) и p(x) = (x-a)(x-)p₂(x) = (x²+px+q)p₂(x), где p и q действительные числа и квадратный трехчлен не имеет корней в R. Поскольку p₂(x) может быть получен с помощью деления p(x) на x²+px+q, он имеет действительные коэффициенты. Применяя к p₂(x) предположение индукции, мы и в этом случае завершаем доказательство.

Следствие.

Всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет действительный корень.

В самом деле, разложим p(x) на множители, как в п.2 теоремы, и сравним степени левой и правой части: deg p = s+2t. Так как слева стоит нечетное число, то таким же будет и s. Следовательно, s³1, что и утверждалось.

Объединяя в разложениях 1 и 2 одинаковые сомножители, получаем:

1. , где a₁,…,a_s – полный набор попарно различных корней многочлена, а m₁,…,m_s – их кратности. При этом m₁+…+m_s = deg p. Всякий многочлен степени n³0 над полем комплексных чисел имеет ровно n корней с учетом их кратности.

2. , где a₁,…,a_s – полный набор попарно различных действительных корней многочлена, а m₁,…,m_s – их кратности. Квадратичные множители отвечают парам комплексно-сопряженных корней, соответствующий показатель r равен кратности каждого из них.

Следствие.

Кратности сопряженных корней у многочлена с действительными коэффициентами равны между собой.

Пример.

Разложим на множители многочлен xⁿ-1. Над полем комплексных чисел разложение имеет вид:

xⁿ-1 = (x-e₀)…(x-e_n-1), где - корни из единицы.

Над полем действительных чисел разберем сначала случай нечетного n = 2m+1. В этом случае многочлен имеет только 1 действительный корень e₀=1. Учитывая, что и e_k+2cos2pk/n, получаем:

.

Для четного n = 2m многочлен имеет 2 действительных корня e₀=1 и e_m= -1. Поэтому разложение имеет вид:

.