Векторные пространства (продолжение).

Базис подпространства.

Обсудим вопрос о построении базиса подпространства конечномерного пространства V. Поскольку всякое такое пространство изоморфно координатному, можно с самого начала считать, что V = k^m. Подпространство WÌ k^m обычно задается либо как линейная оболочка некоторой системы векторов, либо как множество решений однородной системы линейных уравнений.

Базис линейной оболочки системы векторов.

Пусть задана упорядоченная система S = (v₁, v₂,…, v_n) векторов координатного пространства k^m. Можно предложить правило, позволяющее однозначно выбрать подсистему e Ì S, составляющую базис подпространства <S> Ì k^m. В дальнейшем будем называть этот базис каноническим.

Правило выбора базисных векторов из системы S.

Вектор v₁ входит в (e) тогда и только тогда, когда он ненулевой.

Вектор v_p (p = 2, 3,…, n) входит в (e) тогда и только тогда, когда он не является линейной комбинацией предшествующих векторов v₁, v₂,…, v_p-1.

Теорема 1.

Векторы , где 1£j₁<…<j_r£n, выбранные в соответствии со сформулированным правилом, составляют базис (e) линейной оболочки <S>.

Прежде чем доказывать теорему 1 установим ее связь с приведением матрицы к главному ступенчатому виду. Образуем матрицу A Î Mat_m´n(k), столбцами которой являются векторы-столбцы системы S, взятые в указанном порядке. Приведем эту матрицу к главному ступенчатому виду Г и выделим у нее ненулевые строки: Г = . Будем называть BÎ Mat_r´n(k) ненулевой частью ступенчатой матрицы Г. Напомним, что r = rkA. Столбцы матрицы Г образуют систему T = (u₁, u₂,…, u_n) из n векторов пространства k^m.

Теорема 2.

Канонический базис f Ì T состоит в точности из главных столбцов матрицы Г. Вектор u_iÎf тогда и только тогда, когда v_iÎe. Размерности подпространств <S> и <T> равны рангу матрицы A. Координаты векторов u_i и v_i в канонических базисах равны между собой и совпадают со столбцом c_i(B) матрицы B.

Доказательство.

Доказательство теорем 1 и 2 будем проводить одновременно. Проверим, прежде всего, что (f) состоит из главных столбцов Г и является базисом <T>. В самом деле, если вектор u_i является главным столбцом Г, то все его координаты равны 0, за исключением g_qi = 1, которая является главным элементом строки l_q(Г). Следовательно, все элементы g_qj =0 при j<i и потому вектор u_i нельзя представить в виде линейной комбинации предшествующих столбцов матрицы Г. Если же вектор u_i не является главным столбцом и g_qi ¹ 0, то, обозначая через j_q<i номер главного столбца, содержащего единицу в строке с номером q, имеем:

(1). Это означает, что вектор u_i является линейной комбинацией предшествующих главных столбцов матрицы Г. Тем самым показано, что, во-первых, правило построения канонического базиса в рассматриваемом случае приводит к системе главных столбцов ступенчатой матрицы Г. Во вторых, каждый столбец Г можно представить в виде линейной комбинации столбцов системы (f), а потому (f) порождает подпространство <T>. Так как главные столбцы линейно независимы, то система (f) – базис подпространства. Из соотношения (1) вытекает, что ненулевые элементы столбца c_i(Г) равны координатам вектора u_i в этом базисе. Тем самым установлены все утверждения теорем 1 и 2, относящиеся к системе <T>.

Напомним теперь, что при приведении к главному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк, матрица A умножается на некоторую обратимую матрицу P: Г = PA. Соответствие v « Pv = u является взаимно однозначным между столбцами матриц A и Г и сохраняет их порядок. Кроме того, это соответствие сохраняет линейные операции над векторами и потому определяет изоморфизм подпространств <S> и <T>. Поскольку правило построения канонического базиса сформулировано в общих терминах, этот изоморфизм приводит во взаимно однозначное соответствие системы векторов (e) и (f). Следовательно, все утверждения, доказанные выше для системы <T>, верны и для системы <S>, что и требовалось.

Следствие.

Главный ступенчатый вид матрицы определен однозначно.

Достаточно заметить, что столбцы ненулевой части главной ступенчатой матрицы эквивалентной A равны координатам соответствующих столбцов самой матрицы A в каноническом базисе подпространства <S>, а координаты вектора и канонический базис определены однозначно.

Базис подпространства решений однородной системы.

Каждая однородная система линейных уравнений Ax = O , где AÎMat_m´n(k), определяет подпространство решений V_AÌ kⁿ. Для построения базиса этого подпространства приведем A к главному ступенчатому виду Г. Пусть J = (j₁<j₂<…<j_r) – номера главных столбцов матрицы Г, P = (p₁<p₂<…<p_n-r) – номера остальных столбцов, так что - набор главных, а - набор свободных неизвестных. Здесь r = rkA. Как известно, свободные неизвестные могут принимать любые наперед заданные значения, а главные неизвестные через них однозначно выражаются. Введем матрицу D размера r´(n-r) с элементами (напомним, что g_ab = 0 при a>r!). Тогда, очевидно, x_Г = -Dx_C. Пусть e_i = c_i(E_n), где E_n – единичная матрица порядка n. Образуем упорядоченные системы векторов-столбцов E_Г =(e_j, jÎJ) и E_С = (e_p, pÎP).

Теорема.

DimV_A = n-r. Базис этого подпространства составляет набор векторов-столбцов матрицы H =E_С - E_ГD.

Доказательство.

Проверим, что указанные векторы являются решениями системы Гx = O, равносильной первоначальной. Заметим, что Гe_q = c_q(ГЕ) = c_q(Г). Поэтому ГE_С = , и ГE_ГD = (e₁,…, e_r)D = D = . Следовательно, ГH = O, что и требовалось. Поскольку JÇP = Æ, линейная независимость векторов системы E_С влечет за собой линейную независимость системы столбцов H. Наконец, если x – любое решение системы, то y = также является решением и . Так как значения свободных неизвестных определяют решение однозначно, x = y и потому система столбцов матрицы H является порождающей, чем и завершается доказательство.

Замечание.

Всякий базис подпространства V_A называется фундаментальной системой решений (ФСР). Тот базис, который построен в настоящем параграфе, однозначно определяется матрицей системы. Будем в дальнейшем называть его стандартной ФСР. Матрица, столбцы которой составляют ФСР, называется фундаментальной матрицей. Отметим еще, что если все элементы матрицы системы лежат в поле k, то и стандартная фундаментальная матрица обладает этим свойством.

Способы задания подпространств конечномерного пространства.

В этом разделе мы не приводим доказательств, оставляя их читателю. Любое подпространство координатного m-мерного пространства можно задать и как линейную оболочку некоторой системы векторов и как пространство решений некоторой однородной системы линейных уравнений.

Теорема 1.

Пусть UÌk^m задано как пространство решений системы Ax = 0, H - фундаментальная матрица этой системы. Тогда U совпадает с линейной оболочкой <H> столбцов этой матрицы.

Теорема 2

Пусть UÌk^m задано как линейная оболочка некоторой системы векторов, которые рассматриваются как столбцы матрицы S. Обозначим через G фундаментальную матрицу системы S^ty = 0. Тогда U совпадает с пространством решений системы G^tx = 0.

Теорема 3.

Пусть U и V – два конечномерных подпространства любого векторного пространства W. Тогда: dim(UÇV)+dim(U+V) = dimU+dimV.

В последующих теоремах речь идет об описании суммы (Sum) и пересечения

(Intersection) двух подпространств U и V, если каждое из них задано определенным образом. В теореме 4 U задается как линейная оболочка системы векторов S, а V – как линейная оболочка системы T. Каждую из этих систем можно рассматривать как матрицу из векторов-столбцов.

Теорема 4S.

Подпространство U+V совпадает с линейной оболочкой системы SÈT.

Теорема 4I.

Для составной матрицы (S|T) рассмотрим систему линейных уравнений . Пусть - фундаментальная матрица этой системы. Тогда линейная оболочка <SH_S> или, что то же, <TH_T> совпадает с подпространством UÇV.

В теореме 5 считаем, что U задано как пространство решений системы Ax = 0, а V – как пространство решений системы Bx = 0.

Теорема 5S.

Рассмотрим систему линейных уравнений . Пусть фундаментальная матрица этой системы. Тогда система линейных уравнений или, что то же, задает подпространство U+V.

Теорема 5I

Составная система задает подпространство UÇV.

В теореме 6 считаем, что U задано как линейная оболочка системы векторов S, а V – как пространство решений системы Bx = 0.

Теорема 6S.

Будем рассматривать S как матрицу из векторов-столбцов. Пусть H - фундментальная матрица системы Bx = 0. Линейная оболочка столбцов составной матрицы (S|H) совпадает с подпространством U+V.

Теорема 6I.

Пусть G - фундаментальная матрица системы (BA)y = 0. Линейная оболочка столбцов матрицы AG совпадает с пересечением UÇV.

Замена базиса.

Пусть в n-мерном пространстве V заданы 2 базиса e = (e₁,…, e_n) – “старый” базис и - “новый” базис. Каждый вектор нового базиса можно разложить по старому базису: . Числа a_ij задают квадратную матрицу A порядка n, называемую матрицей перехода к новому базису. Можно записать: , если рассматривать базисы как матрицы с 1 строкой. Отметим, что матрица A невырождена, так как обратная к ней матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому: .

Теорема.

Координаты вектора v в новом и старом базисах связаны соотношением:

.

Доказательство.

Имеем: . Поскольку координаты вектора определены однозначно, отсюда и вытекает доказываемое равенство.

Замечание.

Очевидно, что .