Лекции по АиГ / Alg_06

Теория определителей

Пусть A = ||a_i,j|| - квадратная матрица порядка n. Определителем матрицы A называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов A, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Если в каждом из этих произведений расставить сомножители таким образом, чтобы номера строк матрицы шли в естественном порядке, то это слагаемое входит в сумму со знаком равным знаку соответствующей перестановки номеров столбцов матрицы.

Например, = e(1,2)a₁₁a₂₂ + e(2,1)a₁₂a₂₁ = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Таким образом, определитель представляет собой некоторый многочлен от элементов матрицы.

Свойства определителя.

1. Равноправность строк и столбцов. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании. Доказательство. Пусть A^t = B, так что b_ij = a_ji .Тогда detB = = detA.

2. Свойство линейности определителя, рассматриваемого как функция его строк или столбцов. Определитель матрицы является линейной функцией от ее строк и от ее столбцов. Доказательство. Пусть l^/ и l^// - две строки длины n; A^/ и A^// матрицы, полученные из A заменой l_k(A) на l^/ и l^// соответственно. Тогда: detA = = = detA^/ + detA^// . Аналогично доказывается, что если l^/ = ll_k(A), то detA^/ = ldetA. Поскольку согласно п.1 строки и столбцы определителя равноправны, определитель является также и линейной функцией столбцов матрицы A.

3. Свойство антисимметричности определителя как функции строк. При перестановке двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. Доказательство. Пусть матрица B получается из A перестановкой строк с номерами p и q (p<q); I^/ перестановка, полученная из I транспозицией элементов i_p и i_q . Тогда detB = = = = - detA. В случае перестановки столбцов надо использовать п.1. Следствие. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю. В самом деле, при перестановке этих строк матрица не меняется, а определитель должен поменять знак на противоположный.

   Замечание. Можно доказать, что свойства 2 и 3 вместе с равенством det(E) = 1, однозначно определяют детерминант матрицы. (Здесь E – единичная матрица).

   Алгебраические дополнения и миноры.

   Пусть в матрице A фиксирован некоторый элемент a_p,q .В формуле рассмотрим сумму S_p,q всех тех слагаемых, которые содержат выбранный элемент. Тогда S_p,q = a_p,q A_p,q . Число A_p,q называется алгебраическим дополнением элемента a_p,q . Таким образом, A_p,q = . Очевидно, что алгебраическое дополнение равно определителю матрицы A(p, q), полученной из A заменой всех элементов строки с номером p, кроме a_p,q , на 0, а самого элемента a_p,q на 1. (Можно также заменить нулями все элементы q-ого столбца матрицы A, кроме a_p,q ) Минором M_p,q того же элемента называется определитель матрицы (порядка n – 1), полученной из A вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен выбранный элемент.

   Теорема. A_p,q =(-1)^p+q M_p,q .

   Пусть C матрица, составленная из строк и столбцов матрицы A(p, q), причем ее строка с номером p и столбец с номером q занимают в C последние места, а порядок остальных строк и столбцов не нарушен. Пусть C = , так, что B получается из A вычеркиванием строки с номером p и столбца с номером q. Переход от A(p, q) к C можно осуществить, поменяв местами строки (n – p) раз, а столбцы (n – q) раз. Следовательно, detC = (-1)^2n-p-q detA(p, q) = (-1)^p+q A_p,q . С другой стороны, поскольку среди элементов последней строки C ненулевым является только элемент c_nn =1, detC = = detB, так как элемент n в перестановке (I^/ , n) не создает беспорядков. Остается заметить, что по определению detB = M_p,q .

   Разложение определителя по строке или столбцу.

   Фиксируем некоторое целое p между 1 и n. Поскольку каждое слагаемое в определителе матрицы A содержит ровно один элемент из строки с номером p, имеем по определению алгебраического дополнения: detA = . Учитывая связь алгебраических дополнений и миноров, ту же формулу можно переписать в виде: detA = . Это – формула разложения определителя по строке с номером p. Она сводит вычисление определителя порядка n к вычислению n определителей порядка (n-1). Формула detA = называется разложением определителя по столбцу с номером q. Она получается из предыдущей переходом к транспонированной матрице.

   Определитель треугольной матрицы.

   Матрица A называется верхней треугольной, если из условия i>j следует, что a_i,j =0. Аналогично (заменой знака неравенства на “<”) определяется нижняя треугольная матрица. Заметим, что всякая ступенчатая матрица является верхней треугольной.

   Теорема.

   Если A – треугольная матрица, то detA = a₁₁ a₂₂ …a_nn .

   Доказательство.

   Для определенности рассмотрим случай верхней треугольной матрицы. Пусть P = e(I) - одно из слагаемых detA. Если k>i_k , то по определению треугольной матрицы и, следовательно, P=0. Поэтому ненулевыми могут быть только те слагаемые, у которых для всех k i_k £ k. Складывая все эти неравенства, получаем: Si_k £ Sk. Однако, по определению перестановки, в последнем неравенстве всегда имеет место равенство. Отсюда следует, что при всех k i_k = k и, значит, ненулевым может быть только слагаемое, отвечающее тождественной перестановке.

   Вычисление определителя приведением к треугольному виду.

   Пусть s - одно из элементарных преобразований строк матрицы. Сопоставим ему число l(s), которое будем называть множителем этого элементарного преобразования. Если s - перестановка двух строк, то положим l(s) = -1. Если s - умножение строки на число a¹0, то положим l(s) = a. Для преобразования третьего типа положим l(s) = 1. Заметим, что для всех элементарных преобразований l(s)¹0. Имеет место формула: dets(A) = l(s)detA. В самом деле, если s меняет местами 2 строки матрицы, то по свойству 3 dets(A) = - detA. Если все элементы некоторой строки умножаются на a, то по свойству 2 dets(A) = adetA. Наконец, если строка l_p заменяется на сумму l_p + kl_q , то по тому же свойству 2 определитель будет равен сумме detA + kdetA^/ , где в матрице A^/ вместо строки l_p вставлена строка l_q . Но detA^/=0, так как матрица содержит 2 одинаковые строки. Таким образом, при преобразовании третьего типа определитель не меняется.

   Используя элементарные преобразования строк, приведем A к ступенчатой форме S. При этом detA = detS/. Поскольку S –треугольная матрица, получаем окончательно: detA = .

   Из этой формулы следует, что detA¹0 тогда и только тогда, когда все диагональные элементы эквивалентной ступенчатой матрицы отличны от 0.

   Условия, при которых определитель равен 0.

   Теорема.

   Для n´n матрицы A следующие условия равносильны между собой:

   1. Одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных.

   2. Один из столбцов матрицы есть линейная комбинация остальных.

   3. rk(A) < n

   4. detA = 0.

Доказательство.

Покажем, что 1® 4. Пусть, например, l₁ (A) = p₂l₂(A) + …+ p_nl_n(A). По свойству линейности имеем: det(A) = p₂det(A₂) + …+ p_ndet(A_n), где A_k получено из A заменой первой строки на строку с номером k. Поскольку каждая из матриц A_k имеет 2 одинаковые строки, все эти определители, а вместе с ними и det(A) равны 0.

Используя транспонирование, при котором определитель не меняется, получаем, что 2® 4.

Покажем теперь, что 4® 3. Если бы rk(A) = n, то все строки эквивалентной A ступенчатой матрицы S были бы ненулевыми и потому все главные элементы этих строк были бы диагональными и не равнялись нулю. Но тогда и detA¹0, что противоречит 4.

Покажем, что 3® 2. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений Ax = 0. Так как rk(A) < n, эта система не является определенной и потому имеет ненулевое решение. Это означает, что для столбцов A выполняется равенство: x₁c₁(A) + …+ x_nc_n(A) = 0 и при этом не все коэффициенты нулевые. Пусть для определенности x₁¹ 0. Тогда первый столбец A равен линейной комбинации остальных:

Покажем, наконец, что 4® 1. Если det(A) = 0, то и det(A^t) = 0 и, значит по доказанному выше, rk(A^t)< n. Но тогда один из столбцов A^t есть линейная комбинация остальных. Остается заметить, что эти столбцы суть строки A.

Замечание. Квадратная матрица с неравным 0 определителем называется невырожденной. Из доказанной теоремы вытекает, что это – в точности (n´n) матрицы ранга n. Напомним, что именно такие матрицы имеют обратные.

Определитель произведения матриц.

Теорема.

Пусть A и B – две квадратные матрицы одного порядка. Тогда det(AB) = det(A)det(B).

Доказательство.

Рассмотрим вначале случай, когда detA = 0. Надо доказать, что и det(AB) = 0. Как нам известно, из равенства detA = 0 вытекает, что одна из строк А (пусть первая) есть линейная комбинация остальных: l₁ (A) = p₂l₂(A) + …+ p_nl_n(A). По определению произведения матриц l_i (AB) = l_i (A)B. Поэтому l₁ (AB) = l₁ (A)B = (p₂l₂(A) + …+ p_nl_n(A))B = p₂l₂(A)B + …+ p_nl_n(A)B = p₂l₂(AB) + …+ p_nl_n(AB). Итак, в матрице AB первая строка есть линейная комбинация (с теми же коэффициентами, что и в матрице A!) остальных строк и потому det(AB) = 0.

Пусть теперь det(A) ¹ 0. Напомним, что для любого элементарного преобразования s строк имеет место формула: s(AB) = s(A)B. Рассмотрим отношение k = det(AB)/det(A). Поскольку при всяком элементарном преобразовании строк числитель и знаменатель этого отношения умножаются на один и тот же множитель l(s), можно записать: k = det(s(AB))/det(s(A)) = det(s(A)B)/ dets(A). Следовательно, k не меняется при замене A®s(A), то есть при элементарных преобразованиях строк матрицы A. Последовательно выполняя несколько таких преобразований, приведем A к главному ступенчатому виду Г. Так как det(A) ¹ 0, и потому rk(A) = n, матрица Г будет единичной. Итак, det(AB)/det(A) = det(EB)/det(E) = det(B), что и требовалось доказать.

Формулы Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений Ax = b с невырожденной матрицей A. По теореме Кронекера-Капелли такая система имеет единственное решение . Обозначим через A_k матрицу, которая получается из A заменой ее k-ого столбца на столбец свободных членов b.

Теорема.

Имеют место формулы Крамера:

x_k = detA_k /detA.

Доказательство.

Отношение detA_k /detA не меняется, если выполнять элементарные преобразования строк расширенной матрицы (A|b). Используя такие преобразования, приведем (A|b) к главному ступенчатому виду (E|x). После такого приведения матрица A_k становится равной такой матрице E_k , которая получается из единичной матрицы заменой ее k-ого столбца на столбец решений x. Остается заметить, что det(E_k) = x_k .

Формулы для элементов обратной матрицы.

Пусть A невырожденная матрица. Тогда обратная к ней матрица B = A^-1 является решением матричного уравнения AX = E. Отсюда следует, что столбец c_j(A^-1) является решением системы линейных уравнений A c_j (A^-1) = c_j(E). По формулам Крамера получаем: b_ij = detS_ji /detA, где S_ji получено из A заменой ее столбца с номером i на c_j(E). Следовательно, detS_ji в точности равно алгебраическому дополнению элемента a_ji в матрице A.

Итак, b_ij = A_ji /detA.