Лекции по АиГ / Alg_02

Комплексные числа

В предыдущих лекциях мы видели, что операции над матрицами подчиняются тем же законам, что и операции над вещественными числами, но имеются 2 важных исключения. Во первых, в общем случае отсутствует свойство коммутативности: произведение AB может не совпадать с произведением BA. Во вторых, операция деления (сводящаяся к нахождению обратной матрицы A^-1) определена только для невырожденной матрицы A (а не для всякой ненулевой!).

Однако если рассматривать не все матрицы, а только некоторую их часть, то можно добиться выполнения и этих 2 условий. Разумеется, необходимо ограничиться рассмотрением квадратных матриц некоторого фиксированного порядка.

Например, рассмотрим множество Sc_n всех скалярных матриц порядка n, то есть матриц вида lE_n, где lÎR и E – единичная матрица. Заметим, что

l₁E±l₂E = (l₁±l₂)E;

(l₁E)(l₂E) = l₁l₂E;

(lE)^-1 = l^-1E (l¹0).

Отсюда вытекает, что операции над скалярными матрицами данного порядка по существу ничем не отличаются от операций над действительными числами. Точнее, соответствие, которое каждому действительному числу l сопоставляет скалярную матрицу lE, является взаимно однозначным и сохраняет результат всех алгебраических операций. В такой ситуации множество Sc_n называется (матричной) моделью множества действительных чисел.

Дадим теперь следующее определение.

Подмножество PÌMat_n´n(‘R) называется числовым полем, если:

1. OÎP; EÎP;

2. матрицы из P коммутируют между собой;

3. каждая ненулевая матрица из P обратима, что позволяет определить операцию деления: A/B = AB^-1 = B^-1A для любой матрицы B¹O;

4. Выполнение алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение и деление) над матрицами из множества P не выводит за пределы этого множества (P замкнуто относительно алгебраических операций).

   Один пример числового поля – множество скалярных матриц – мы уже имели. Построим еще одно числовое поле.

   Обозначим через Com₂ÌMat_2´2(‘R) множество всех матриц вида: , где a,bÎR. Отметим, что Com₂ÉSc₂, так что поле, которое мы строим, содержит модель поля действительных чисел.

   Свойство 1) очевидно. Проверим выполнение свойства 2) для чего достаточно подсчитать произведение двух матриц из Com₂. Имеем:

   AB = = и потому AB = BA и результат принадлежит множеству Com₂. Остается проверить, что каждая ненулевая матрица из Com₂ обратима, причем обратная матрица также принадлежит этому множеству (выполнение остальных свойств очевидно!).

   На предыдущей лекции приводилась формула обращения матрицы второго порядка. Пользуясь ею, находим:

   B^-1 = = B^t/detB и эта матрица существует для любой B¹O. Тем самым мы проверили, что множество Com₂ является числовым полем. Оно называется матричной моделью поля комплексных чисел.

   Замечание.

   Каждая матрица из множества Com₂ полностью определяется своим первым столбцом. Пользуясь этим можно перемножать матрицы из нашей модели “упрошенным способом”: .

   Комплексные числа в алгебраической форме.

   Обозначим через I матрицу из Com₂ с элементами: . Всякую матрицу B = из этого множества можно записать в виде: B = aE+bI. Заметим, что I² = -E и это соотношение однозначно задает операцию умножения в нашей модели: (xE+yI)(aE+bI) = xaE+yaI+xbI+ybI² = (xa-yb)E+(xb+ya)I.

   Выражение z = aE+bI называется алгебраической формой записи комплексного числа. Это выражение принято сокращать до записи: z = a+bI. Такое сокращение означает, что мы отождествляем скалярные матрицы aE с действительными числами a. Множество всех комплексных чисел будем впредь обозначать буквой C.

   Заметим, что выражение a+bI часто принимают за определение комплексного числа. Если исходить из этого определения, то надо, прежде всего, объяснить, как производятся действия с такими выражениями и доказать, что эти действия подчиняются сочетательному, распределительному и т.д. законам. Наш подход через построение матричной модели позволяет обойтись и без этих определений и без вывода вышеуказанных свойств.

   Для данного комплексного числа z = a+bI действительное число a называется вещественной частью z, а число b – коэффициентом при мнимой части. Они обозначаются следующим образом: a = Rez, b = Imz. Число = a-bI называется сопряженным по отношению к z. В матричной модели переход к сопряженному числу соответствует переходу к транспонированной матрице. Поскольку, как известно, (A±B)^t = A^t±B^t и (AB)^t = B^tA^t (=A^tB^t), можно записать:

   и . Произведение z = a²+b² представляет собой неотрицательное действительное число, обозначаемое |z|² и называемое квадратом модуля комплексного числа z. В матричной модели, где числу z соответствует матрица A, квадрат модуля z равен detA. Из свойств операции сопряжения вытекает, что |z₁z₂| = |z₁||z₂|. Отметим также, что || = |z|.

   Операция деления для чисел в алгебраической форме выполняется следующим образом: .

   Наконец, = |z₁|/|z₂|.

   Замечания.

   1. Также как и Sc₂ – не единственная модель поля действительных чисел (можно рассмотреть хотя бы Sc₃!), так и комплексные числа помимо Com₂ имеют и другие модели. Можно, например, рассмотреть множество всех матриц 4 порядка вида: , где AÎCom₂. Это будет другая модель поля комплексных чисел.

   2. Кроме R и C существуют и другие числовые поля. Отметим поле рациональных чисел Q, состоящее из всех действительных чисел, которые представимы как отношение двух целых.

Геометрическая модель поля комплексных чисел.

Плоскость, на которой выбрана правая прямоугольная декартова система координат xOy, будем называть комплексной. Ось Ox назовем действительной, а Oy – мнимой. Каждому комплексному числу z = a+bI сопоставим вектор v(z) этой плоскости с координатами . Поскольку при сложении комплексных чисел складываются их действительные и мнимые части, а при сложении векторов складываются их координаты, мы видим, что операция сложения комплексных чисел соответствует сложению векторов, которые им сопоставлены. Также обстоит дело и при умножении на действительное число – комплексному числу lz соответствует вектор lv(z). Отметим, что модульz равен длине вектора v(z). Если этот вектор приложить к началу координат, то его конец будет точкой P(z) с теми же координатами. Иногда бывает удобнее изображать комплексное число z именно точкой P(z), а не вектором v(z).

При такой интерпретации комплексные числа изображаются точками комплексной плоскости, точно также как действительные числа изображаются точками числовой прямой.

Отметим, что точки, изображающие сопряженные числа, симметричны друг другу относительно вещественной оси.

Операцию умножения комплексных чисел удобно изучать с помощью полярной системы координат. Итак, пусть x = rcosj; y = rsinj. Комплексное число z = x+Iy принимает вид: z = r(cosj+Isinj). Такая форма его записи называется тригонометрической. Здесь r = |z|, а угол j, который определен при z¹0, называется аргументом z. Символом argz обозначается то значение аргумента, которое удовлетворяет условию -p<argz£p. Оно называется главным значением. Если же необходимо рассматривать все значения аргумента, то пишут Argz = argz+2pn. Как уже отмечалось, умножение на действительное число r сводится к растяжению вектора. Выясним, какой геометрический смысл имеет умножение на комплексное число q = cosj+Isinj.

Обозначим через v_j вектор, полученный из v = v(z) поворотом на угол j в положительном направлении. Если систему координат xOy также повернуть на угол j, то координаты вектора v_j в этой новой системе будут такими же, как кординаты v в старой системе, то есть . Используя формулу изменения координат вектора при повороте, находим, что координаты v_j в исходной системе равны . С другой стороны, перемножая z = x+Iy и q = cosj+Isinj, получаем: qz = (xcosj-ysinj)+I(xsinj+ycosj). Следовательно, v(qz) = v_j.

Итак, умножение на комплексное число z = r(cosj+Isinj) соответствует повороту всех векторов комплексной плоскости на угол j и растяжению их в r раз.

Следствие.

Arg(z₁z₂) = Argz₁+Argz₂.

В этой формуле приходится рассматривать все значения аргумента, поскольку при сложении двух главных значений результат может уже и не быть главным значением.

Отметим, что равенство двух многозначных выражений принято понимать как совпадение множества всех значений правой и левой части.

Поскольку Argz^-1 = Arg = Arg = -Argz, имеет место и формула

Arg(z₁/z₂) = Argz₁ – Argz₂.

Поскольку возведение в целую степень представляет собой перемножение нескольких сомножителей, имеет место формула:

Argzⁿ = nargz+2pk. n = 0, ±1, ±2, ...

Эта формула, записанная в виде (cosj+Isinj)ⁿ = cosnj+Isinnj называется формулой Муавра.

В заключенние определим так называемую показательную форму записи комплексного числа. Прежде всего, определим функцию с комплексным показателем формулой: e^a+bI = e^a(cosb+Isinb). Серьезные основания для такого определения могут быть раскрыты только в курсе матнматического анализа. Мы же ограничимся констатацией основного тождества для показательной функции: , которое вытекает из формулы сложения аргументов.

Из приведенного определения вытекает, что cosj+Isinj = e^Ij и потому тригонометрическая форма записи получает более компактный вид:

z = r(cosj+Isinj) = re^Ij, который и называется показательной формой записи комплексного числа.

Извлечение корня из комплексного числа.

Операция извлечения корня – обратная по отношению к возведению в степень. Если zⁿ = w, то пишут . Очевидно, что имеет единственное значение 0. Пусть w¹0. Запишем это число в показательной форме: w = Re^IФ. Если zⁿ = w, то z¹0 и это число также можно записать в показательной форме: z = re^Ij. Равенство принимает вид: rⁿe^nIj = Re^IФ, откуда rⁿ = R и r = определяется однозначно. Для нахождения аргумента j получаем уравнение: e^{I(nj -Ф)} = 1, то есть . Следовательно, nj-Ф = 2pk, откуда j = Ф/n +2pk/n. Мы получаем таким образом бесконечное множество углов j=j_k. Два угла j_p и j_q приводят к одинаковым значениям Argz, если они отличаются на целочисленное кратное числа 2p, что имеет место в точности тогда, когда (p-q) делится на n без остатка.

Следовательно, мы получим все различные значения Argz, если возьмем k = 0, 1, …, (n-1).

Получается, что при w¹0 корень из этого числа имеет в точности n значений:

, k = 0, 1, …, (n-1).

Соответствующие точки комплексной плоскости располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат и делят эту окружность на равные дуги.

Если взять R = 1, Ф = 0, то получим корни из единицы e_k = e^2pIk/n. Заметим, что e_k = . Если z₀ – одно из значений , то все значения этого корня находятся по формуле: z_k = z₀e_k.