2 Метод конечных разностей при расчете траекторий движения

При расчете физических процессов составляется математическая модель – система уравнений, описывающая зависимости между физическими величинами при некоторых упрощающих допущениях. Физические процессы описываются обычно системой дифференциальных уравнений, для решения которой применяют различные численные методы (модели). Широко используется метод конечных разностей, в котором бесконечно малые приращения переменных заменяют малыми ( конечными ) приращениями.

Рассмотрим задачу определения траектории точки, движущейся в некоторой плоскости под действием различных сил. Например, необходимо вычислить траекторию движения снаряда с учетом сопротивления воздуха или ракеты с учетом изменения ее массы, движущихся в поле тяготения Земли.

Координаты точки X(t),Y(t)в некоторый момент времени tможно определить, зная ее координатыX(t-dt),Y(t-dt)

в предыдущий момент времени t-dtи изменение координатdX,dY

X(t) = X(t-dt) +dX(t),

Y(t) = Y(t-dt) +dY(t).

Если временной интервал выбрать достаточно малым, то можно полагать, что скорость точки на этом интервале не изменяется

и приращения координат определяются по формулам

dX(t) = Vx(t)*dt,

dY(t) = Vy(t)*dt.

Здесь Vx(t),Vy(t)– проекции скорости на оси координат.

Составляющие скорости Vx(t) и Vy(t) можно вычислить как:

Vx(t) = Vx(t-dt) +Ax(t)*dt,

Vy(t) = Vy(t-dt) +Ay(t)*dt,

где Ax(t),Ay(t) – проекции ускорения на оси координат.

Ускорение определяется силами, действующими на точку – оно равно равнодействующей силе, деленной на массу точки. Силы могут зависеть от координат и скорости точки, а также от времени. Например, ускорение ракеты в поле тяготения планеты обратно пропорционально квадрату расстояния до центра планеты. При включении двигателя ракеты ускорение зависит от времени ( программы работы двигателя ). При движении в атмосфере на ракету действуют силы сопротивления воздуха, зависящие от скорости движения.

3 Алгоритм расчета траектории движения точки

3.1 Определяем силы, действующие на точку, и находим проекции ускорения на оси координат. В общем случае ускорение точки зависит от многих факторов и в момент времени t задается как функция от

скорости, координат и времени

Ax:= Fx(Vx,Vy, X,Y, t),

Ay:= Fy(Vx,Vy, X,Y, t),

где Vx,Vy, Ax,Ay– проекции скорости и ускорения на оси координат.

3.2 Задаем начальное положение точки – координаты X[1],Y[1]

и начальные скорость и ускорение в виде проекций на оси координат

X[1]:=X0; Y[1]:=Y0;

Vx[1]:= V*cos(fi);

Vy[1]:= V*sin(fi);

Ax[1]:= Fx( Vx[1],Vy[1], X[1],Y[1], t[1]);

Ay[1]:= Fy( Vx[1],Vy[1], X[1],Y[1], t[1]);

где V– начальная скорость;fi– угол наклона вектора скорости к оси Х.

3.3 Задаем временной шаг dt и разбиваем весь временной интервал наN участков. При равномерной разбивке приращение времени

определяется по формуле

dt:= (t[N]-t[1])/(N-1);

где t[N]-t[1] – время движения точки.

Выбор величины dtопределяется необходимой точностью расчета, возможностями вычислительной техники и может корректироваться в процессе решения задачи.

3.4 Вычисляем массивы скоростей, ускорений и координат точки

For i:=2 to N do begin

Vx[i]:=Vx[i-1] +Ax[i-1]*dt;

Vy[i]:=Vy[i-1] +Ay[i-1]*dt;

X[i]:= X[i-1] +0.5*(Vx[i-1]+Vx[i])*dt;

Y[i]:= Y[i-1] +0.5*(Vy[i-1]+Vy[i])*dt;

Ax[i]:= Fx( Vx[i],Vy[i], X[i],Y[i], t[i]);

Ay[i]:= Fy( Vx[i],Vy[i], X[i],Y[i], t[i]);

Уточнение скорости точки в расчетном месте

VX[i]:= VX[i-1] +0.5*(Ax[i-1] +Ax[i])*dt;

VY[i]:= VY[i-1] +0.5*(Ay[i-1] +Ay[i])*dt end;

Для уменьшения погрешностей расчетной схемы скорость и ускорение на участке интерполируются средними значениями.

3.5 Строим траекторию движения по найденным наборам координат X[i],Y[i], определив предварительно расчетную область и область рисования траектории на экране.