Перейдем теперь к вопросу, связанному с анализом результатов экспертных оценок, представленных в виде квадратной положительной обратносимметричной матрицы парных сравнений в шкале Саати. Суть этого анализа заключается в математической обработке матрицы с целью получения вектора приоритетов сравниваемых объектов. С математической точки зрения задача сводится к вычислению главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.
Точный способ вычисления главного собственного вектора матрицы парных сравнений заключается в возведении матрицы в произвольно большие степени и делении суммы каждой строки на общую сумму элементов матрицы. Этим способом рекомендуется пользоваться, если обработка матрицы ведется на ЭВМ. Для ручного счета рекомендуется следующий способ, который дает хорошее приближение.
|
|
|
… |
|
Главный собственный вектор |
Вектор приоритетов |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
… |
|
|
|
Компонента главного собственного вектора вычисляется как среднее геометрическое значений в строке матрицы
(7.3)
Компонента вектора приоритетов вычисляется как нормированное значение главного собственного вектора:
(7.4)
Расчет локальных приоритетов. Синтез приоритетов
Рассмотрев методику расчета вектора приоритетов для матрицы парных сравнений и методику оценки степени согласованности суждений анализируемой матрицы, перейдем теперь к рассмотрению основного вопроса – анализа проблемы методом анализа иерархий.
Для того, чтобы решить проблему, сформулированную в примере, описанном в начале главы, то есть, чтобы выбрать дом и решить жилищную проблему, необходимо выполнить следующее.
После построения иерархической модели проблемы (рис. 7.3, б) начинаем первый этап анализа, который состоит в исследовании степени влияния показателей свойств качества дома на общее удовлетворение домом. В формальном виде этот этап состоит в анализе влияния факторов второго уровня иерархии на цель анализа – первый уровень. В таблице 7.4 представлена матрица парных сравнений для восьми факторов 2-го уровня, заполненная суждениями эксперта, квалиметрированными по шкале Саати.
Напомним, что суждение высказывается по поводу степени предпочтения фактора, указанного в левой колонке матрицы, по отношению к фактору, указанному в соответствующем столбце матрицы. Например, эксперт отвечает на вопрос: «насколько фактор «размеры дома» предпочтительнее фактора «время постройки дома» по отношению к цели «общее удовлетворение домом»».
В
данной матрице эксперт высказывал
суждение, что первый фактор имеет
значительное
превосходство по важности
по сравнению со вторым фактором и по
шкале Саати оценил это превосходство
числом 7. Соответственно обратное
превосходство (второго фактора над
первым) оценено по шкале Саати как 
.
В правой колонке таблицы 7.4 представлены компоненты вектора приоритетов, а внизу таблицы:
- наибольшее собственное значение
матрицы суждений;
ИС – индекс согласованности;
ОС – отношение согласованности.
Общее удовлет-ворение домом |
Размер дома |
Удобство автобусной остановки |
Окрест- ности |
Время постройки дома |
Двор |
Современ- ное обо-рудование |
Общее состоя- ние |
Финан-совые условия |
В
Таблица 7.4 приори-тетов |
Размеры дома |
1 |
5 |
3 |
7 |
6 |
6 |
|
|
0.173 |
Удобство автобусной остановки |
|
1 |
|
5 |
3 |
3 |
|
|
0.054 |
Окрест- ности |
|
3 |
1 |
6 |
3 |
4 |
6 |
|
0.188 |
Время постройки дома |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.018 |
Двор |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
0.031 |
Совре-менное обору- дование |
|
|
|
4 |
2 |
1
|
|
|
OU36 |
Общее состоя- ние |
3 |
5 |
|
7 |
5 |
5 |
1 |
|
0.167 |
Финан-совые условия |
4 |
7 |
5 |
8
|
6 |
6 |
2 |
1 |
0.333 |
=
9.67; ИС
= 0.238; ОС = 0.17.
Следует
отметить, что соглашение согласованности
для данной матрицы несколько больше
рекомендуемого уровня (ОС
0.1), однако для задач используемого типа
его можно принять.
В общем случае уровень согласованности должен соответствовать тому риску, который сопутствует работе с несогласованными данными.
Например, при сравнении воздействия лекарств на организм необходимо иметь очень высокий уровень согласованности.
Прокомментируем кратко полученные после обработки матрицы результаты. Наиболее значительным с семейное точки зрения оказался фактор «финансовые условия» (Р = 0.333), «вес» которого почти в два раза больше ближайшего к нему и достаточно значимого фактора «окрестности» (Р = 0.188). Наименьший интерес вызвал такой фактор как «время постройки дома» (Р = 0.018).
Четыре
такие фактора, как «размеры дома»
(0.173), «окрестности» (0.188), «общее состояние»
(0.167), «финансовые условия» (0.333), доминируют
над остальными, занимая почти 90
от общего «веса» воздействия факторов.
Для упрощения задачи эти факторы могут
быть оставлены для дальнейшего
рассмотрения, так как они окажут
наибольшее влияние на окончательный
выбор дома.
Если такое решение принимается, то оставляемые факторы перенормируются. Для этого следует разделить каждое значение оставленной компоненты на сумму оставленных компонент.
В нашем примере перенормировка представлена в табл. 7.5.
Таблица 7.5
|
Факторы |
||||
|
Размеры дома |
Окрестности |
Общее состояние |
Финансовые условия |
|
«веса» факторов из табл. 7.4 |
0.173 |
0.188 |
0.167 |
0.333 |
0.861 |
перенормированные «веса» факторов |
|
|
|
|
|
Однако в нашем примере будут рассматриваться все восемь факторов для проведения процесса анализа в полном объеме.
Переходим теперь к рассмотрению влияния факторов третьего уровня на факторы второго уровня, то есть к анализу «веса» (предпочтительности) каждого из рассматриваемых домов (А, Б, В) по
отношению к каждому фактору второго уровня. Для этого необходимо сформировать и обработать восемь экспертных матриц парного сравнения. Сами матрицы и результаты их обработки в виде главных векторов и мер согласованности представлены в табл. 7.6.
Таблица 7.6
Размеры дома |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
Двор |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
6 |
8 |
0.754 |
А |
1 |
5 |
4 |
0.674 |
Б |
|
1 |
4 |
0.181 |
Б |
|
1 |
|
0.101 |
В |
|
|
1 |
0.065 |
В |
|
3 |
1 |
0.226 |
|
|
|
|
= 3.136 ИС = 0.068 ОС = 0.117 |
|
|
|
|
= 3.086 ИС = 0.043 ОС = 0.074 |
Окрестности |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
Современное оборудование |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
8 |
6 |
0.745 |
А |
1 |
8 |
6 |
0.747 |
Б |
|
1 |
|
0.065 |
Б |
|
1 |
|
0.060 |
В |
|
4 |
1 |
0.181 |
В |
|
5 |
1 |
0.193 |
|
|
|
|
= 3.13 ИС = 0.068 ОС = 0.117 |
|
|
|
|
= 3.197 ИС = 0.099 ОС = 0.170 |
Удобство автобусных маршрутов |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
Общее состояние |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
7 |
|
0.233 |
А |
1 |
|
|
0.200 |
Б |
|
1 |
|
0.005 |
Б |
2 |
1 |
1 |
0.400 |
В |
5 |
8 |
1 |
0.713 |
В |
2 |
1 |
1 |
0.400 |
|
|
|
|
= 3.25 ИС = 1.124 ОС = 0.213 |
|
|
|
|
= 3.065 ИС = 0.032 ОС = 0.056 |
Время постройки дома |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
Финансовые условия |
А |
Б |
В |
Вектор приоритетов |
А |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
А |
1 |
|
|
0.072 |
Б |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
Б |
7 |
1 |
3 |
0.650 |
В |
1 |
1 |
1 |
0.333 |
В |
5 |
|
1 |
0.278 |
|
|
|
|
= 3.000 ИС = 0.000 ОС = 0.000 |
|
|
|
|
= 3.065 ИС = 0.032 ОС = 0.056 |
Анализ векторов локальных приоритетов показывает, что дом А лучший по четырем критериям (размер дома, окрестности, двор и современное оборудование), дом Б лучший по финансовым условиям, а дом В лучший по удобствам расположения автобусных остановок.
На следующем этапе осуществляется синтез локальных приоритетов или оценка обобщенных (глобальных) приоритетов. В нашем примере речь идет о получении вектора глобальных приоритетов домов (А, Б, В) по отношению к цели верхнего уровня – общего удовлетворения домом.
Для этого матрицу векторов локальных приоритетов 2-го уровня, составленную по результатам анализа, представленного в табл. 7.6, умножают на вектор локальных приоритетов 1-го уровня, полученного в табл. 7.4, т.е.:
0.173
0.188
А
→
0.754 0.745 0.233 0.333 0.674 0.747 0.200 0.072
0.054 0.396
Б→ 0.181 0.065 0.005 0.333 0.101 0.060 0.400 0.650 * 0.018 = 0.341
В→ 0.065 0.181 0.213 0.333 0.226 0.193 0.400 0.278 0.031 0.263
0.036
0.167
0.333
Например, первая компонента обобщенного вектора приоритетов получается так:
В результате получаем обобщенный (глобальный) вектор приоритетов домов (А, Б, В) по отношению к конечной цели – покупке дома, от которого семья получает удовлетворение. Этот вектор имеет вид:
Дом |
Вектор приоритетов |
А |
0.396 |
Б |
0.341 |
В |
0.263 |
Таким образом, с учетом всех рассматриваемых факторов, предпочтение при покупке отдается дому А.
На заключительном этапе осуществляется оценка степени согласованности всей рассматриваемой иерархии, рассчитываемой по мерам согласованности всех уровней иерархии.
Расчет обобщенной меры согласованности продемонстрируем на рассматриваемом примере.
Вначале оцениваем индекс согласованности иерархии М как сумму индекса согласованности иерархии первого уровня и индекса согласованности второго уровня, представляющего собой взвешенную сумму индексов согласованностей матриц второго уровня (см. табл. 7.4 и 7.5).
Рассчитаем вначале индекс согласованности 2-го уровня как произведение вектора-строки индексов согласованности 2-го уровня на вектор приоритетов 1-го уровня (вектор-столбец). Получаем:
Вектор-строка Вектор-столбец
0.173
0.188
0.054
0.068 0.068 0.124 0 0.043 0.099 0 0.032 × 0.018 =
0.031
0.036
0.167
0.333
= 0.068×0.173 + 0.068×0.188 + …+ 0.032×0.333 = 0.0468.
Обобщенный индекс согласованности:
М = 0.258 + 0.0468 = 0.285.
Затем аналогичным способом вычисляется суммарный случайный индекс
= 1.16.
Величина отношения согласованности для всей иерархичной структуры
