Дії над радикалами
Додавання і віднімання.
Додавання
і віднімання радикалів виконують так
само, як і додавання і віднімання
раціональних одночленів: радикали
сполучають знаками
або
і зводять подібні члени, якщо вони є.
У багатьох випадках при додаванні і відніманні радикалів доводиться спочатку виявляти подібні члени, а потім їх зводити. Для виявлення подібних членів слід звести радикали до найпростішого вигляду. Наприклад:
Множення і ділення.
Щоб перемножити (поділити) кілька радикалів з однаковими показниками, треба перемножити (поділити) підкореневі вирази і написати добуток (частку) під знаком кореня з тим самим показником. Якщо перед радикалами є коефіцієнти, то їх теж слід перемножити (поділити).
При множенні (діленні) радикалів з різними показниками спочатку їх треба привести до одного показника, а вже потім виконати дію множення (ділення) радикалів з однаковими показниками. Наприклад:
Піднесення радикала до степеня.
Піднесення радикала до степеня і добування кореня з кореня ми вже розглядали під час вивчення властивостей коренів. Розглянемо ще деякі приклади.
Щоб піднести радикал до степеня, треба піднести до цього степеня підкореневий вираз, залишивши той самий показник радикала.
Наприклад:
Добування кореня з радикалів.
Щоб добути корінь з кореня, достатньо з підкореневого виразу добути корінь з показником, що дорівнює добутку двох даних показників.
Наприклад:
Зазначимо, що множення і ділення сум, що містять радикали, виконуються за звичайними правилами множення і ділення многочленів. При цьому широко застосовуються формули скороченого множення та ділення:
Розкладаючи на множники вирази, що містять радикали, застосовують не тільки розкладання на множники підкореневих виразів, а й подання виразів у вигляді добутку радикалів.
Зведення до раціонального вигляду членів дробових ірраціональних виразів
Під час обчислення дробових ірраціональних виразів у деяких випадках доцільно звільнятись від ірраціональності у знаменнику або чисельнику. Це перетворення ґрунтується на основній властивості дробу: величина дробу не зміниться від множення його чисельника й знаменника на один й той самий вираз, який не дорівнює нулю.
Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу – це означає перетворити дріб, знаменник якого містить корені, до нового дробу, тотожно рівному даному, знаменник якого коренів не містить.
Якщо знаменник дробу являє собою радикал чи добуток радикала на раціональний множник, то слід чисельник і знаменник дробу домножити на таку степінь кореня того самого показника, щоб отримати степінь з показником, до дорівнює показнику кореня. Наприклад:
Якщо знаменник дробу є сума (різниця) квадратних радикалів, то дріб можна привести до раціонального вигляду, помноживши чисельник і знаменник на різницю (суму) тих самих радикалів, тобто на спряжений до знаменника множник. Наприклад:
Якщо знаменник дробу є сума (різниця) кубічних радикалів, то щоб позбутися ірраціональності в знаменнику, слід домножити чисельник і знаменник дробу на неповний квадрат різниці (суми) тих самих радикалів.
