2. Властивості коренів

За означенням кореня n-го степеня можна довести такі твердження:

1. Для будь-яких невід’ємних чисел і і будь-якого натурального числа правильна рівність:

2. Для кожного невід’ємного числа , кожного додатного числа і натурального числа правильна рівність:

3. Для кожного цілого числа k, кожного додатного числа a і натурального числа правильна рівність:

4. Для будь-яких натуральних чисел i , кожного невід’ємного числа правильна рівність:

5. Для будь-яких натуральних чисел , і i кожного невід’ємного числа правильна рівність:

3. Найпростіші перетворення радикалів

Винесення множника за знак радикала.

У випадках, коли підкореневий вираз розкладається на множники так, що з одного або кількох з них можна добути точний корінь, ці множники після добування з них кореня можна записати перед знаком кореня. Таке перетворення називається винесенням спільного множника за знак радикал.

Наприклад: .

Внесення додатних множників під знак радикала.

Перетворення, обернене до винесення множників з-під знака радикала, називається внесенням множників під знак радикала.

Щоб внести множник під знак радикала, слід піднести його до степеня, показник якого дорівнює показнику кореня, і записати результат під знак кореня.

Так, запис можна розглядати як перетворення, обернене до винесення множника за знак кореня.

Наприклад: .

Зведення радикалів до найпростішого вигляду.

Вважатимемо, що радикал зведений до найпростішого вигляду, коли: підкореневий вираз не містить дробів; раціональні множики винесені за знак радикала; показник кореня і показник степеня підкореневого виразу скорочені на їх найбільший спільний дільник. Якщо підкореневий вираз є добутком кількох множників, показники степенів яких мають спільний дільник, то показники кореня і показники степенів співмножників поділені на цей дільник.

Наприклад: .

4. Зведення подібних радикалів

Спрощуючи вирази, які містять суму радикалів, користуються перетворенням, що має назву зведення подібних радикалів. Воно аналогічне зведенню подібних членів. Проте означення подібних радикалів відрізняється від означення подібних членів.

Радикали називаються подібними, якщо після зведення їх до найпростішого вигляду вони мають рівні підкореневі вирази і однакові показники. Наприклад, подібними є радикали:

, , , .

Раціональний множник, що стоїть перед знаком радикала, називають коефіцієнтом.

Якщо радикали не зведені до найпростішого вигляду, то не можна казати про їх подібність. Щоб це з’ясувати, слід їх спростити, тобто: звільнитись під радикалом від дробів; винести за знак радикала ті множники, з яких добувається точний корінь; показник кореня і показник степеня підкореневого виразу спростити на найбільший спільний дільник.

Наприклад, і подібні, оскільки , а

Порівняння радикалів

Теорема: Якщо а > b 0, то > , тобто більшому додатно­му підкореневому виразу відповідає і більше значен­ня кореня.

Приклад. Порівняємо числа і .

Подамо і у вигляді коренів з одним і тим самим показни­ком:

= = , а = = . Згідно з доведеною теоремою, так як 32 > 27, то > , а отже, >

Безпосередньо з теореми випливає:

1) Якщо а > 1, то > 1 і < а.

2) Якщо 0 < а < 1, то 0 < < 1 і > а.

3) + > , при умові а > b 0, або b > а 0.