Модуль 7 Степенева, показникова та логарифмічна функції зм 18 Корінь n-го степеня та його властивості

Мета: формування знань про корені, властивості коренів, найпростіші перетворення радикалів, дії над радикалами

1. Опорні питання заняття:

1. Поняття кореня n-го степеня.

2. Властивості коренів.

3. Найпростіші перетворення радикалів.

   1. Винесення множника за знак радикала.

   2. Внесення додатних множників під знак радикала.

   3. Зведення радикалів до найпростішого вигляду.

4. Зведення подібних радикалів.

5. Дії над радикалами.

1. Додавання і віднімання.

2. Множення і ділення.

3. Піднесення радикала до степеня.

4. Добування кореня з радикалів.

6. Зведення до раціонального вигляду членів дробових ірраціональних виразів.

2. Запитання для самоперевірки

3. Задачі

Ключові поняття: корінь n-го степеня, арифметичний квадратний корінь

Література:

• Бурда М.І., Дубинчук О.С., Мальований Ю.І. Математика (підручник для навчальних закладів освіти гуманітарного профілю), 10-11 кл. – К.: Освіта, 2001

• Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубинчук О.С. Алгебра і початки аналізу (підручник), 10-11 кл. – К.: Зодіак – ЕКО, 2002

• Бевз Г.П. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10-11 класу загальноосвіт. навч. закл. – К.: Освіта, 2005

1. Опорні питання заняття:

   1. Поняття кореня n-го степеня

В курсі алгебри 8-го класу було введено поняття квадратного кореня: квадратним коренем з числа називають число, квадрат якого дорівнює .

Наприклад, числа 3 і -3 – квадратні корені з 9, бо і .

Квадратний корінь з 0 дорівнює 0, бо . Цей корінь з 0 єдиний. Квадратний корінь з -25 не існує, бо не має такого числа, квадрат якого дорівнював би -25.

Отже, квадратних коренів з додатного числа існує два: один додатний, а другий від’ємний. Додатний квадратний корінь з додатного числа називають арифметичним коренем і позначають . Знак називають знаком арифметичного кореня; вираз, що стоїть під знаком арифметичного кореня, називають підкореневим виразом.

Додатні числа разом з числом нуль називають невід’ємними числами. Надалі поняття арифметичного кореня будемо вживати для невід’ємних чисел.

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа є невід’ємне число, квадрат якого дорівнює .

З цього означення випливає, що коли , вираз не має смислу.

Використовуючи введене позначення, запишемо корені рівняння , , .

Якщо треба добути квадратний корінь з алгебраїчної суми, то не можна добувати його з кожного доданка окремо.

Наприклад, , але .

Отже, дія добування кореня відносно додавання (і віднімання) не має розподільної властивості. Те саме можна сказати і про дію піднесення до степеня.

Ми нагадали найважливіші відомості про квадратний корінь, або корінь другого степеня.

Розглянемо корінь будь-якого степеня. Рівність можна прочитати так, що число 5 є кубічним коренем (коренем третього степеня) з 125.

Аналогічно з рівності випливає, що число -4 є кубічним коренем з -64.

Добування кореня – це операція, обернена до операції піднесення до степеня.

Коренем n-го степеня з числа а називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а (n – натуральне число).

Нехай n – непарне число. Корінь непарного степеня з числа завжди існує і до того ж тільки один: якщо , цей корінь – додатне число, якщо , він дорівнює нулю, а коли , корінь – від’ємне число.

Для його позначення прийнято знак (читається «корінь n-го степеня з »).

Знак операції добування кореня , а також результат цієї операції називають радикалом (лат. radix - корінь).

Число n називають показником кореня, число а – підкореневим виразом.

Нехай n – парне число. Якщо , існує два протилежних числа, які є коренями n-го степеня з числа .

Додатний корінь n-го степеня з позначають у цьому випадку знаком , тоді протилежне йому число . Якщо , то існує єдиний корінь n-го степеня з : , бо . Якщо , то корінь n-го степеня з не існує. Інакше кажучи, вираз , де n – парне і не має смислу.

Отже, якщо n – непарне число, то вираз має смисл при будь-якому ; якщо n – парне число, то вираз має смисл лише коли .

Очевидно, що при всіх значеннях , для яких вираз має смисл, справджується рівність .

Якщо , то вираз завжди має смисл.

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа є невід’ємне число, n-ий степінь якого дорівнює .

Корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичний корінь того самого степеня з протилежного (додатного) числа. Так .

Взагалі, якщо і і - натуральне число, то .

Справді то ; .

Відомо, що для квадратного кореня справджується тотожність . Аналогічно для кореня n-го степеня з парним показником має місце тотожність

Надалі користуватимемося арифметичними коренями.

Найменший з натуральним показників, які розглядають, дорівнює 2, його не пишуть.