Функції багатьох змінних.

Нехай задано множину впорядкованих пар чисел . Якщо кожній парі чисел за певним законом відповідає число , то кажуть, що на множині визначено функцію від двох змінних і і записують .

Множину називають областю визначення функції .

Впорядкованій парі чисел у прямокутній системі координат відповідає єдина точка площини, тому функцію , де , можна розглядати як функцію точки і замість писати .

Нехай функція визначена в деякому околі точки М(x, y). Надамо змінній приріст , а змінній приріст так, щоб точки і належали даному околу.

Величини

,

називають частинними приростами функції відповідно по змінних і .

Якщо існує границя

,

то вона називається частинною похідною функції по змінній і позначається одним із символів: , , , .

Аналогічно частинна похідна функції по визначається як границя

і позначається одним із символів: , , , .

Частинними похідними другого порядку від функції називають частинні похідні від її перших похідних:

; ;

; .

Похідні та називають мішаними частинними похідними другого порядку.

Нехай задано скалярне поле, тобто скалярна функція разом з областю її визначення. Візьмемо в ньому точку і проведемо з цієї точки вектор , напрямні косинуси якого , , . На векторі на відстані від його початку візьмемо точку . Обчислимо приріст функції при переході від точки до в напрямі вектора .

Якщо існує границя

,

то її називають похідною функції в точці за напрямом вектора і позначають .

Похідну за напрямом обчислюють за формулою:

.

Градієнтом функції в точці називають вектор, координати якого є значення частинних похідних цієї функції в точці і позначають . Отже,

.

Градієнт вказує напрям максимального зростання скалярного поля.

Звичайні диференціальні рівняння

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку можна записати у вигляді .

Рівняння виду є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділимо обидві його частини на і помножимо на . Після інтегрування отримаємо розв’язок у вигляді

.

Рівняння виду , де функція задовольняє умові для довільного числа , є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Таке рівняння розв’язується підстановкою .

Рівняння виду є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Його розв’язують підстановкою . Аналогічно розв’язується рівняння Бернуллі , .

Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають пониження порядку мають вигляд:

. (1)

Порядок такого рівняння можна понизити, якщо за нову невідому функцію взяти найнижчу із похідних даного рівняння, тобто покласти , тоді , тому дістанемо рівняння . Таким чином, порядок рівняння понижується на одну одиницю.

Диференціальне рівняння виду

, (2)

яке не містить явно залежної змінної х, допускають пониження порядку на одиницю, якщо покласти , де (на відміну від попереднього випадку) новою невідомою є функція від у: . Тоді за правилом диференціювання складеної функції маємо: . Таким чином, від рівняння (2) приходимо до рівняння - першого порядку.

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами має вигляд , .

Для відшукання загального розв’язку відповідного однорідного рівняння складаємо і розв’язуємо характеристичне рівняння . Залежно від значень і можливі три випадки:

1) корені дійсні, і , то ,

2) , то ,

3) - комплексні корені, то .

Загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння знаходиться у вигляді суми загального розв’язку відповідного однорідного рівняння і частинного розв’язку неоднорідного рівняння, тобто . Причому шукається залежно від вигляду функції . Якщо , де - многочлен -го степеня від , то , - многочлен -го степеня від з невизначеними коефіцієнтами; - кратність кореня у характеристичному рівнянні. Якщо , , то , де - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють ; , - невизначені коефіцієнти.