Національний транспортний університет

Завдання для контрольної роботи №1

з вищої математики для студентів

Інституту економіки та бізнесу на транспорті

доц. Борщ Олена Іванівна

2012

Курс вищої математики, який вивчається на економічних спеціальностях університету, ставить своєю задачею дати студенту знання з вищої математики, необхідні для успішного вивчення економічних дисциплін, а також для розвитку навичок логічного мислення.

Вища математика включає такі розділи:

1. Елементи лінійної алгебри.

2. Векторна алгебра та аналітична геометрія.

3. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне числення функції однієї змінної і його застосування.

4. Інтегральне числення функції однієї змінної.

5. Функції багатьох змінних.

6. Диференціальні рівняння.

За цими розділам студент виконує три розрахункові та одну контрольну роботи (завдання вказуються лектором курсу).

Перед виконанням контрольних робіт студент повинен вивчити відповідні розділи рекомендованої літератури, а також розглянути розв’язування типових прикладів, приведених в лекційному матеріалі.

Номер варіанту визначається порядковим номером студента у списку групи.

Три розрахункові роботи виконуються в одному зошиті (12-18 аркушів). Роботи здаються на перевірку по мірі їх виконання, але не пізніше як за три дні до проведення заліку.

Кожна контрольна робота виконується в окремому зошиті і здається на перевірку не пізніше як за місяць до початку екзаменаційної сесії.

На обкладинці зошитів вказується вид роботи (розрахункова чи контрольна), прізвище та ініціали студента, курс, група, номер залікової книжки, номер варіанту.

Розв’язування задач і пояснення до них повинні бути досить детальними і у випадку необхідності треба наводити графіки і малюнки.

Розрахункова чи контрольна робота після реєстрації (кафедра вищої математики к. 510, вул. Кіквідзе, 42) перевіряється викладачем, рецензується і при наявності зауважень і помилок повертається студенту для виправлення. Після виправлення роботи студент її захищає і тільки після цього допускається до складання заліку чи здачі екзамену, які заплановані учбовим планом для даної спеціальності.

Якщо номер варіанту не відповідає номеру за списком – робота повертається без пояснень!

Теоретичні відомості Інтегральне числення. Невизначений інтеграл

Функція називається первісною для функції на проміжку , якщо , .

Якщо є первісною для , то і кожна функція виду також буде первісною для .

Множина всіх первісних для функції називається невизначеним інтегралом від функції і позначається

.

Таблиця основних інтегралів:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

18.

Основні методи інтегрування – інтегрування частинами і заміна змінної.

Існують два способи заміни змінної: введення під знак диференціала і підстановка.

Метод введення під знак диференціала виражається формулою

,

де - первісна для , - неперервна диференційовна функція.

Метод підстановки полягає в тому, що коли функція неперервна, то, поклавши , де , - неперервні, отримуємо .

Метод інтегрування частинами виражається формулою

,

де і - диференційовні функції.

Далеко не кожну функцію можна проінтегрувати одним з вищеназваних способів. Наприклад: , , - інтеграли, які “не беруться”.

Наведемо основні типи інтегрованих функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Якщо степінь многочлена, який стоїть у чисельнику, більший або дорівнює степені многочлена, який стоїть у знаменнику, то такий раціональний дріб називається неправильним. Виділенням цілої частини неправильного дробу задача інтегрування зводиться до знаходження первісної правильного дробу. Далі правильний дріб потрібно розкласти на суму елементарних дробів виду

, , , ,

де ; A, B, a, p, q - константи; .

Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтеграли виду універсальною підстановкою , , , зводяться до інтегралів від раціональних дробів. Проте, в деяких випадках зручніше скористатись іншими підстановками, наприклад:

а) якщо , то ;

б) якщо , то ;

в) якщо , то .

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

1. Інтеграл виду , раціоналізується підстановкою .

2. Інтеграли виду

а) , б) , в) підстановками

а) , б) , в)

зводяться до інтегралів від тригонометричних функцій.

3. Інтеграл виду підстановкою зводиться до одного з інтегралів попереднього типу.

Визначений інтеграл

Нехай функція визначена на відрізку і – довільне розбиття цього відрізка на частинних відрізків , . На кожному з них виберемо довільну точку і складемо суму , . Число називається інтегральною сумою функції , що відповідає даному розбиттю відрізка і вибору точок . Позначимо , .

Означення. Якщо існує границя інтегральної суми при , що не залежить ні від способу розбиття відрізка , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається , тобто

.

Число називають нижньою, число – верхньою межею визначеного інтеграла.

Якщо - первісна для , тобто на , то (формула Ньютона-Лейбніца). Різницю записують також у вигляді .

Основні методи обчислення визначеного інтеграла – інтегрування частинами і заміна змінної.

Якщо і - неперервно диференційовні функції на , то справедлива формула інтегрування частинами

.

Заміна змінної у визначеному інтегралі:

, де - функція, неперервна разом зі своєю похідною на відрізку ; , , - функція неперервна на .

Важливо те, що заміняючи змінну у визначеному інтегралі, знаходять також нові межі інтегрування, і надалі вже не повертаються до початкової змінної.

Якщо функція неперервна при , то невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею знаходять як границю визначеного інтеграла: . Відповідно

.

Якщо неперервна на функція при необмежено зростає і в точці невизначена, то за означенням

, де 0.

Площа фігури, обмеженої кривими і та прямими і знаходиться за формулою

.

Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою і полярними радіусами та , виражається інтегралом

.

Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то площа відповідної криволінійної трапеції

.

Довжина дуги гладкої кривої , знаходиться за формулою . Якщо крива задана параметричними рівняннями , , , то . Довжина дуги кривої в полярних координатах .

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої лініями , , , , навколо осі

.

За допомогою визначеного інтеграла обчислюють також статичні моменти і моменти інерції плоских фігур, знаходять координати центра мас плоскої фігури, роботу, тиск та інші величини.