8. Уравнения баланса мощностей в линии
Необходимо рассмотреть энергетические соотношения линии.
Рис. 1.1.7 Однородная уединенная линия
Рассмотрим элементарный участок длинной х = 1 км на расстоянии х от ее начала линии.
Будем брать R, L, C, G, не приписывая Dх.
Мощность, которую отдает источник питания, можно характеризовать величиной произведения напряжения на ток в начале линии u i.
Убыль энергии при прохождении сигнала через линию можно характеризовать величиной
(1.25)
В общем случае напряжение и ток являются функциями четырех величин (пространственных координат и времени), то есть
u (x, y, z, t), i (x, y, z, t).
Для рассмотрения линии, когда имеет место плоская волна (поперечная электромагнитная волна - TEM), можно сохранить только одну координату х, определяющую движение вдоль линии. Тогда имеем:
u (x, t,), i (x,t).
Запишем потери мощности в этой линии в виде суммы
,
(1.26)
где
-
потери в проводах;
-
потери в диэлектрике
.
(1.27)
Отсюда, энергия, запасаемая реактивными элементами линии, равна
.
(1.28)
Уравнение называют уравнением баланса мощностей в линии.
Попытаемся из уравнения получить основные уравнения линии (уравнения, связывающие между собой напряжения, токи и параметры линии).
.
(1.29)
Это основные уравнения линии. Они были решены в 1885 году Кельвином для частного случая G = 0, а далее ими занимался Хевисайд. Полное решение этих уравнений было дано в 1896 году профессором Войнаровским.
9. Уравнения линии для установившегося режима гармонических колебаний
Гармонические напряжение и ток определяются выражениями
Если мы, таким образом учтем в уравнениях время и то, что у нас ток и напряжение изменяются вдоль линии, то в системе можно получить следующие соотношения:
(1.30)
Введение временного множителя привело к тому, что этот множитель встречается при всех членах системы уравнений. Поэтому при исследовании уравнения этот множитель можно опустить и, переходя от записи уравнений в частных производных к полному дифференциалу, можно записать систему уравнений в следующем виде:
(1.31)
или переписать
(1.32,а)
где Zпр – сопротивление проводов, Yпр – проводимость изоляции.
Уравнение – основное уравнение линии в установившемся режиме для гармонических колебаний.
Решение таких уравнений ищется по справочникам.