Задача 73. На підприємстві розроблено два методи виготовлення виробів. Для перевірки цих методів на матеріаломісткість зібрані дані про витрати сировини на одиницю продукції у процесі роботи обома методами. Витрати сировини за застосування першого методу становили: 2,0; 2,7; 2,5; 2,9; 2,3; 2,6; а другого — 2,5; 3,2; 3,5; 3,8; 3,5. Вважаючи, що розподіл у сукупностях нормальний і дисперсії в сукупностях однакові, перевірити гіпотезу при

Розв’язання. Для вибіркової функції яка розподілена за законом Стьюдента з ступенями волі потрібно знайти критичну область (вона двостороння) і знайти фактичну реалізацію. Знайдемо числові характеристики вибіркових сукупностей:

За таблицями розподілу Стьюдента для 9 ступенів волі знаходимо

Обчислимо значення статистичної характеристики:

Отже, значення характеристики належить критичній області, і гіпотеза відхиляється.

621. Із нормально розподіленої сукупності з зроблено вибірку обсягом n. Побудувати найпотужніший критерій для перевірки гіпотези за альтернативної гіпотези Нехай n = 30, Визначити, при якому С значення Яка з гіпотез приймається?

622. Із нормально розподіленої сукупності зроблено вибірку обсягом n = 10. Побудувати найпотужніший критерій для пере- вірки гіпотези за альтернативної гіпотези Яка з гіпотез приймається, якщо С = 4, а вибіркова сукупність така: 1,7; 2,4; 3,6; 4,1; 1,8; 0,9; 0,8; 2,3; 4; 2,1?

623. Із показниково розподіленої сукупності зроблено вибірку обсягом n = 50. Побудувати найпотужніший критерій для перевір- ки гіпотези при альтернативній гіпотезі Нехай Яка із гіпотез приймається, якщо С = 4?

624. Із сукупності зі щільністю

зроблено вибірку обсягом n = 10. Побудувати найпотужніший критерій для перевірки гіпотези , за альтернативної гіпотези Яка з гіпотез приймається, якщо С = 3, а вибіркова сукупність така: 14; 18; 19; 21; 16; 13; 11; 9; 17; 15?

625. Із сукупності, щільність розподілу якої зроблено вибірку обсягом n. Побудувати найпотужніший критерій для перевірки гіпотези за альтернативної гіпотези (значення відоме).

626. Із нормально розподіленої сукупності з невідомою дис- персією зроблено вибірку обсягом n. Побудувати критерій для перевірки гіпотези за альтернативної гіпотези Знайти закон розподілу для випадкової величи- ни — аргументу

627. Із нормально розподіленої сукупності з невідомим математичним сподіванням зроблено вибірку обсягом n. Побудувати критерій для перевірки гіпотези за альтернативної гіпотези Знайти закон розподілу для випадкової величини — аргументу

628. Із показниково розподіленої сукупності зроблено вибірку обсягом n. Побудувати критерій для перевірки гіпотези за альтернативної гіпотези Знайти закон розподілу для випадкової величини — аргументу

629. Розробляючи норми виробітку, на підприємстві провели 26 вимірювань продуктивності праці робітників, які виконували певну операцію. При цьому середня продуктивність праці а Перевірити гіпотезу, що в разі масового випуску цієї продукції середня продуктивність праці становитиме 5,1 за рівня значущості

630. Вимірювання деталей, які вироблені на тому самому верстаті, показали, що відхилення характеристики від номіналу в середньому становить 18 км і є підстави вважати, що вони розподілені за нормальним законом. З метою зменшення відхилень застосовано додаткову операцію, а потім зроблено вибірку обсягом n = 20. Згідно з результатами обстеження середнє відхилення становить 14 мкм, а мкм. Перевірити за рівня значущості гіпотезу про те, що додаткова операція не істотно впливає на розмір відхилення.

631. На робочому місці 9 раз фіксується тривалість виконання робітником певної операції. Числові характеристики вибірки такі: Перевірити, чи істотне відхилення вибіркової дисперсії від дисперсії значення якої здобуто на підставі багатьох вимірювань тривалості цієї операції. Рівень значущості

632. Для перевірки істотності впливу на міцність бетону особливого способу приготування проведено експеримент. Із партії сировини було взято 6 однорідних проб. Ці вибірки було поділено випадковим способом на дві групи з трьох вибірок кожна. Із кожної вибірки було зроблено пробний куб, причому вибірки із другої групи піддавались особливій обробці. Через 28 днів визначили опір на стиск і дістали такі результати: у першій групі — 290, 311, 284; у другій групі — 309, 318, 318. Перевірити гіпотезу про те, що бетон у обох групах однаково міцний, якщо рівень значущості

633. Для перевірки точності двох верстатів проведено вимірювання деякого розміру виготовлюваних деталей. На першому вер- статі було виготовлено 25 деталей, при цьому мкм, на другому верстаті було виготовлено 30 деталей і мкм. Чи можна на підставі цих даних зробити висновок, що точність другого верстата вища, якщо рівень значущості ?

634. Із двох нормально розподілених сукупностей зроблено вибірки, які характеризуються такими результатами: За рівня значущості перевірити гіпотезу про однаковість дисперсій у сукупностях.

635. Вважаючи, що довговічність електричної лампи має нормальний розподіл і відмінності у матеріалах чи технологіях не впливають на значення дисперсії, на підставі даних таблиці перевірити гіпотезу про однаковість математичних сподівань тривалості горіння ламп, виготовлених із різних матеріалів, якщо рівень значущості

Партія	Випробування
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1600	1610	1650	1680	1700	1700	1800	1820
2	1500	1640	1640	1700	1750
3	1460	1550	1600	1620	1640	1660	1735	1815
4	1510	1520	1530	1568	1600	1680

636. Для контрольних випробувань продукції 100 однотипних верстатів узято по 10 виробів із кожної партії, в яких по 40 деталей, і для кожної вибірки підраховано кількість деталей другого сорту:

хі	0	1	2	3	4	5	6 і більше
mi	1	10	27	36	25	1	0

Через позначено кількість вибірок, які містять виробів другого сорту. Кількість виробів, які випускалися другим сортом, протягом тривалого часу становила 30 %. За допомогою критерію перевірити відповідність результатів випробування гіпергеометричному та біноміальному розподілам, узявши рівень значущості

637. За допомогою критеріїв і Колмогорова перевірити гіпотезу про нормальний закон розподілу у сукупності — розміри деталей після шліфування, на підставі даних, які наводяться в таблиці.

Межі інтервалу	Частота
3,6—3,7	1
3,7—3,8	22
3,8—3,9	40
3,9—4,0	79
4,0—4,1	27
4,1—4,2	26
4,2—4,3	4
4,3—4,4	1

Рівень значущості Оцінки для параметрів узяти на підставі вибіркових даних.

638. Через однакові проміжки часу у тонкому шарі розчину золота реєструвалась кількість частинок золота, які попадали у поле зору мікроскопа. Результати спостережень наведено у таблиці.

N	0	1	2	3	4	5	6	7
Частота	62	140	131	98	53	10	3	3

За допомогою критеріїв і Колмогорова перевірити узгодження результатів спостереження із з законом розподілу Пуассона. Параметр розподілу знайти за вибірковими даними. Рівень значущості

5.4. Елементи теорії кореляції

Між двома випадковими величинами, можуть бути такі форми залежності:

а) функціональна залежність,

б) стохастична залежність, коли зі зміною значення однієї величини змінюється розподіл другої величини;

в) кореляційна залежність, коли умовне середнє значення однієї величини функціонально залежить від другої величини.

Нехай результати вибірки із двовимірної сукупності подано в табличній формі:

Y Х			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…	…
			…
			…			—
			…		—	—

Якщо розглядати таблицю за рядками, то кожному значенню відповідає деякий розподіл випадкової величини Обчислимо для цих розподілів умовні середні значення Отже, Аналогічно, розглядаючи таблицю за стовпцями, також визначаємо умовні середні величини Знову маємо залежність виду

Рівняння, які виражають умовні середні, називаються кореляційними рівняннями або рівняннями регресії другого роду. У ко- реляційному аналізі розглядаються такі задачі:

1. визначити за кореляційною таблицею форму залежності між випадковими величинами, тобто вид функціональної залежності

2. оцінити тісноту залежності, тобто визначити ступінь розсіяності можливих значень однієї випадкової величини відносно лінії регресії, якщо одна із величин набуває певних значень.

А. Лінійна кореляційна залежність

Для визначення форми залежності між X i Y за результата- ми розрахунків у кореляційній таблиці в системі координат XOY відкладаємо точки Якщо ці точки розміщені на лінії, яка близька до прямої, то можна вважати, що залежність має лінійний характер, тобто рівняння регресії подається у вигляді , або аналогічно За допомогою методу найменших квадратів можна визначити коефіцієнти рівнянь регресії: Коефіцієнти — коефіцієнти регресії. Отже, лінійні рівняння регресії мають вигляд:

Лінії регресії перетинаються в точці яка називається центром кореляції. Тіснота зв’язку в разі лінійної залежності оцінюється коефіцієнтом кореляції. Коефіцієнтом кореляції випадкових величин називається середнє геометричне значення коефіцієнтів регресії, яке має знак останніх:

Коефіцієнти регресії виражаються через коефіцієнт кореляції за такими формулами:

аналогічно . Тоді рівняння регресії мають вигляд:

Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує оди- ницю. Якщо , то величини не пов’язані лінійною залежні- стю, але при цьому між ними можливий нелінійний кореляційний зв’язок. Якщо r зростає за абсолютною величиною від нуля до одиниці, то тіснота зв’язку зростає, і, якщо то кореляційна залежність перетворюється на функціональну і прямі регресії зливаються в одну пряму.

Обчислення параметрів, які входять у рівняння регресії, спро- щується, якщо перейти до умовних змінних і умовних моментів розподілу.

Задача 75. У результаті обстеження одержано статистичний розподіл 100 підприємств за виробничими фондами Х, млн грн, і добовим виробітком Y, т.:

Y X	10	15	20	25	30	35
50	2	2					4
60	2	4	5	6	4		21
70		2	7	12	10	4	35
80				10	10	6	26
90				8		6	14
	4	8	12	36	24	16	100

Визначити форму залежності між X i Y, знайти рівняння ліній регресії і тісноту зв’язку.

Розв’язання. Знаходимо умовні середні і

Результати обчислень перенесемо в таблицю. У ній перейдемо до умовних змінних, узявши

v u	–3	–2	–1	0	1	2
–2	2	2					4	12,5
–1	2	4	5	6	4		21	21,4
0		2	7	12	10	4	35	26
1				10	10	6	26	29,2
2				8		6	14	29,3
	4	8	12	36	24	16	100
	55	60	65,8	75,6	72,5	81,3

Для визначення форм залежності проаналізуємо, як змінюються умовні середні зі зміною випадкових величин. Зі зростанням х умовна середня також зростає, а при зростанні умовна середня в основному зростає. У системі координат XOY відкладемо множину точок значком « », а множину точок — значком « » (рис. 25).

Графіки рівнянь регресії зображено на рис. 25.

Рис. 25

Із рис. 25 бачимо, що кожна із груп побудованих точок розміщена приблизно на деякій прямій, дещо відхиляючись від неї. Рів- няння прямих шукаємо у вигляді:

За даними останньої таблиці знаходимо умовні моменти розподілу:

Щоб знайти коефіцієнт кореляції, обчислимо середнє значення добутку умовних змінних:

Знайдемо значення решти параметрів, які входять до рівняння регресії:

Запишемо рівняння ліній регресії: