4.6. Указания к численному решению задачи

Дифференциальные уравнения движения манипулятора с заданными начальными условиями интегрируются численным методом на интервале времени t. На печать выводятся переменные с шагом . Вариант программы с использованием конечно-разностной схемы Эйлера приведен в рассмотренном ниже примере.

4.7. Контроль решения

Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов. При рассогласование между точками M и D не должно быть величиной порядка  от начального. Результаты вычисления на ЭВМ для момента времени угловых скоростей звеньев и скорости точки С должны близко совпадать с результатами графоаналитического решения для этого момента времени.

5. Пример выполнения задания (Вариант 37, , )

Постановка задачи.

Управление манипулятором (рис.1) должно обеспечивать за время  сближение захвата М с движущейся точкой D. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном на рисунке направлении. Начальное положение манипулятора задано углами поворота звеньев . К моменту времени требуется относительная точность  совмещения точек M и D. Управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласования их производных.

Числовые значения данных:

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , .

Здесь - угол между осью и вектором .

Рис. 1.

Требуется:

1. Составить уравнения управления движением точки, уравнения углового движения звена манипулятора и уравнение для скорости точки С.

2. Выбрать параметры управления, обеспечивающие сближение точек M и D с заданной точностью.

3. Проинтегрировать численным методом уравнения движения на интервале времени .

4. Построить траектории сближения точек M и D и графики .

5. Для момента времени с. Провести графоаналитическое решение задачи и сравнить с результатами счета на компьютере.

5.1. Составление уравнений движения

Уравнения движения детали D имеют вид:

, ,

(13)

Предположим, что координаты захвата M известны в процессе движения, тогда можно вычислить рассогласование точек M и D:

, ,

(14)

Пусть управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласования их производных:

, .

(15)

При управлении с большим коэффициентом усиления с погрешностью порядка выполняются соотношения

,.

(16)

Подставим в (16) выражения (13) – (15) и приведем полученные уравнения к форме Коши. Тогда

, .

(17)

Угловое движение звеньев манипулятора и скоростью точки C однозначно определяются движением точки M и внешними связями, налагаемыми в точках O и C. Составим выражения для проекций скоростей точек M и D.

В соответствии с графом запишем

, .

(18)

В соответствии с графом

, .

(19)

Из уравнений (19) и (18) получим:

; ; ; .

(20)

Уравнения (20) дополним дифференциальными соотношениями

, ,

(21)