Расчет и проектирование балки

Тип балок

Балками называются конструкции, работающие в основном на по­перечный изгиб. Они наиболее распространены благодаря простоте и малой стоимости изготовления, удобной конструктивной форме. Осо­бенно широко применяются балки при относительно небольших проле­тах я больших нагрузках. При больших пролетах я малых нагрузках более рациональны фермы, так как в этом случае более важна эко­номия металла, чем увеличение трудоемкости изготовления.

В о всех случаях назначение балок, - приняв нагрузку от дру­гих элементов конструкции, передать ее на опоры. Наиболее часто применяют сварные балки таврового (рис.2,а), двутаврового (рис.2, б) я коробчатого (рис,2, в , г ) профилей, реже - профи­лей, показанных на рио.2,д ,е

При проектировании сварных балок необходимо обеспечить не только их надлежащую работоспособность, но и наибольшую экономич­ность. Повышение экономичности достигается в результате более пол­ного использования материала и более высокой технологичности кон­струкции (выбор форм, допускающих применение высокопроизводитель­ных методов сварки).

Высокая работоспособность сварных балок обеспечивается за счет выполнения условий прочности, жесткости, устойчивости и вы­носливости.

Определение расчетных усилий в балке с помощью линии влияния

При проектировании поперечного сечения необходимо для заданного пролета и системы нагрузок определить максимальные значения расчетных усилий в балке при самом опасном положении нагрузки. Часто это удобно выполнить с помощью линии влияния, что особенно целесообразно при нахождении усилий в балках от движущихся систем грузов, которые могут занимать различные положения на конструкции, например от веса тележек, перемещающихся по балкам крана.Линия влияния выражает зависимость усилия в каком-либо заданном сечении балки от положения груза на ней. Ее обычно строят от груза, принимая его равным единице, и после этого используют для определения усилий в выбранном сечении при любом заданном загружении от нескольких сосредоточенных сил или распределенных нагрузок.

П усть требуется вычислить перерезывающую силу Q. и изгибаю­щий момент М в сечении балки X = 0,5*lот системы сил, изо­браженных на рис.3,а.

В первую очередь необходимо построить линии влияния опорных реакций балки, выражающие зависимость величины реакции от положе­ния груза, равного единице (рис.3, б). Обозначим расстояние груза до левой опоры через X, тогда из условий статики получим

(1)

Реакция R_Aопределяется уравнением наклонной прямой (рис.3,в)

при

при

Подобным образом строится линия влияния реакции (рис.3,г).

Для количественного определения величины опорных реакций необходимо в соответствии с принципом независимости действия сил просуммировать произведения величин нагрузок на соответствующие ординаты линии влияния реакций. При этом усилие от равномерно-распределенной нагрузки определяется как произведение интенсивно­сти нагрузки qна площадь линии влияния на длине загружаемого участка F(на рис.3 заштрихована), т.е.

S= qF. (2)

Тогда для положения подвижного груза на консоли

(3)

(4)

Линия влияния перерезывающей силы Q выражает зависимость величины перерезывающей силы в заданном сечении от положения единичного груза на балке.

Допустим, что груз находится справа от сечения

Построим эту линию (рис.3,д) по двум точкам:

При

При

Прямая верна на участке

Если груз находится слева от сечения ,то

(5)

При

При

Эта линия верна на участке , под исследуемым сечением она меняет знак.

Техника использования полученной линии влияния для расчета величины перерезывающей силы в сеченииX= 0,5lаналогична описанной выше для реакции опор.

Некоторую особенность имеет построение линии влияния перерезывающей силы для опорного сечения балки. В этом случаестроят две линии влияния: для сечения 0…–dxи для сечения 0…+ dx(dx- бесконечно малое расстояние от опоры влево или вправо).

Для определения величины изгибающего момента М в исследуемом сечении строят линию влияния, выражающую зависимость величины М в данном сечении от положения единичного груза на балке.

Пусть груз находится справа от сечения X= 0,5l . Положительным считается момент, изгибающий балку выпуклостью вниз. Тогда

При

При

Это уравнение линии влияния момента справедливо только для области .

Когда груз находится слева от исследуемого сечения, то

При

При

Уравнение действительно при X<0,5l . На рис.3.lприведена линия влияния изгибающего момента для сечения Х = 0,5l.

Порядок использования линии влияния изгибающего момента такой же, как и линии влияния перерезывающей силы.

С помощью линии влияния находят опасное положение подвижной нагрузки на балке, при котором возникающие в балке усилия оказываются наибольшими. Расчетные положения подвижной нагрузки в виде двухосной тележки показаны на рис.4.

Расчет высоты балки

После определения расчетных усилий R, Q, М и опасного сечения балки приступают к проектированию ее конструкции. Сечение сварной балки должно удовлетворять требованиям прочности, общей и местной устойчивости и в то же время быть возможно более экономичным по затратам металла. При подборе сечения сварной балки одной из важных задач является установление рациональной высоты балки h , являющейся главным размером сечения. Это следует из того, что такие основные характеристики поперечного сечения при изгибе, как момент сопротивления и момент инерции выражаются зависимостями, в которые величина hвходит во второй и третьей степени. Обычно составные балки имеют h= (1/8…1/12)d , хотя возможны и отступления. Высота балки зависит от предъявляемых к ней требований жесткости и экономичности.

Определение высоты балки из условий жесткости. Проектируемая балка должна быть жесткой, т.е. ее прогиб от наибольшей нагрузки не должен превышать предельно допустимого. Обычно в балках предельная величина отношения f_maz/l(f_max - стрелка прогиба балки) регламентируется нормами. Норма жесткости [f_max/l]зависит от назначения балки и условий ее работы в конструкции. Значения норм жесткости, установленные СНиП, приведены в прилож.2.

Минимальная высота балки, удовлетворяющая условиям жесткости, оп­ределяется по формуле

(6)

где

l – пролет балки

E – модуль Юнга

норма жесткости

- коэффициент, соответствующий характеру расчетной нагрузки (прилож.3)

- составляющие напряжения в опасном сечении от соответствующих нагрузок.

Следует иметь ввиду, что

. (7)

Здесь –допускаемое напряжение в металле балки при растяжении,

, (8)

где - коэффициент запаса прочности (для проката из углеро­дистых сталей

n₀= 1,2-1,4, для проката из легированных сталейn₀= 1,4-1,6).

Высота балки, вычисленная по формуле (6), является наименьшей при заданных [G]ри норме жесткости [f_max/l] и может быть увеличена из соображений компоновки конструкции или экономии материала.

Определение высоты балки из условий экономичности. Кроме требования жесткости, проектируемая балка должна удовлетворять прочности при условии наименьшего веса. Поперечное сечение в этих условиях должно иметь наименьшую площадь.

Высота балки, рассчитанная по условиям экономичности, зависит от формы поперечного сечения проектируемой балки и определяется для двутаврового сечения по формуле

(9)

где – расчетный изгибающий момент;

–толщина вертикального листа.

Чтобы найти оптимальную высоту балки, надо заранее задать толщину . Величина возрастает с увеличением высоты сечения. Ее можно предварительно определить по эмпирической формуле

, (10)

где l – пролет балки, м.

По конструктивным соображениям толщина вертикального листа обычно принимается не менее 6 мм и должна соответствовать стандартной толщине листовой стали (прилож.4).

Высоты, найденные по формулам (6) и (9), могут оказаться совершенно различными. В этом случае в качестве расчетной высоты балки принимают наибольшую. Ее значение желательно округлить так, чтобы высота вертикального листа балки совпадала со стандартной шириной прокатной стали или вся высота балки была кратной модулю 100 мм.

Конструирование сечения балки. Определив высоту балки, приступают к подбору элементов ее поперечного сечения из условия прочности. Последовательность операций при этом следующая:

1. Определяют требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:

(11)

2. Зная требуемую высоту балки h , рассчитывают величину момента инерции поперечного сечения

(12)

3. Вычисляют приближенное значение момента инерции вертикального листа. При этом, если толщина листа уже выбрана, то высота его не определена, так как неизвестна толщина горизонтальных листов (поясов). При решении задачи в первом приближении принимают , тогда

(13)

4. Определяют требуемый момент инерции поясов балки. Для симметричного двутавра момент инерции каждого пояса

(14)

5. Рассчитывают требуемую площадь поперечного сечения каждого пояса балки

(15)

6. Размеры сечения пояса находят из уравнения

(16)

При этом ширину пояса принимают равной (10-20) , а толщину пояса - равной не более 3 . Размеры поясов округляют так же, как и высоту вертикального листа.

Подобрав размеры элементов поперечного сечения балки, необходимо начертить это сечение в масштабе с указанием всех размеров.

Из-за некоторых неточностей расчета, допущенных при подборе сечения, необходимо выполнить проверку прочности спроектированного сечения.

Проверка подобранного сечения балки. Исходя из условий работы спроектированной балки, следует проверить ее общую прочность при изгибе, местную прочность, обусловленную наличием сосредоточенных нагрузок, а также устойчивость всей балки и ее элементов. Предварительно проверяют сечение по использованию материала. При этом должно выполняться условие:

(17)

Проверка прочности балки при изгибе. Прочность балки при изгибе проверяют по нормальным и касательным напряжениям в сечениях, где усилия, вызывающие эти напряжения, максимальны. Нормальные напряжения определяют в сечении, где М имеют наибольшую величину:

(18)

Здесь

(19)

Перегрузка более 5 % недопустима. Недогруз более 5 % допускается, если он оправдан, например, выбором высоты из условия прочности. Эпюра нормальных напряжений в двутавровой балке приведена нарис. 5,а

(20)

где J –момент инерции

S_в – толщина вертикального листа

[τ] – допустимое напряжение на срез

S- статический момент половины площади относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, для симметричного двутавра (рис. 6)

,

К асательные напряжения (рис.5,вв сварных балках, как правило, значительно ниже допускаемых.

Нередко в балках наибольший изгибающий момент и поперечная сила имеют место в одних и тех же поперечных сечениях и при одном и том же положении груза (в балках консолях, неразрезных, а также в однопрогибных при сосредоточенных грузах).

При этом на крайних кромках вертикального листа (точки 4 и 2 на рис.5) следует определить эквивалентное напряжение, кото­рое должно быть меньше допускаемого:

(21)

Здесь

(S₁- статический момент пояса относительно центра тяжести сечения).

При вычислении J и S₁сварные швы не учитываются.

В большинстве случаев прочность спроектированной балки опре­деляется величиной нормальных напряжений б, рассчитываемых по формуле (18). Условия прочности по эквивалентным напряжениям при этом почти всегда удовлетворяются.

Проверка прочности балки в местах приложения сосредоточенной нагрузки. Если проектируемая балка имеет сосредоточенные неподвижные (рис.7,а ) или перемещающиеся (рис.7, б ) нагрузки, то в листах приложения таких нагрузок в вертикальном листе балки возникают местные напряжения, на которые ее необходимо проверить. Проверку балок по местным напряжениям выполняют по формуле

(22)

где Р - величина, сосредоточенного груза;

m- коэффициент, равный 1,0 (для балок с общей нагрузкой меньше или равной 500 кН) или 1,5 (для балок с общей нагрузкой более 500 кН);

z - условная длина, на которой сосредоточенный груз распределяется в вертикальном листе

(23)

здесь J_п – собственный момент пояса.

Е сли условие (22) не выполняется, то нагруженный пояс балки должен быть усилен. Для крановых или мостовых балок это достигается установкой рельса (рис.7, а). Основные размеры и расчетные данные крановых рельсов приведены в прилож.5. После установки рельса корректируют величину Z, рассчитывая новый момент инерции относи­тельно оси x₁ , проходящей через общий центр тяжести 0₁пояса и рельса, если рельс приваривается к балке. В случае болтового крепления рельса к балке берут суммарный момент инерции пояса и рельса.

Проверка обшей устойчивости балки. Подобрав сечение балки, необходимо обеспечить ее общую устойчивость. Потеря общей устойчивости балки заключается в выходе из вертикальной плоскости ее вертикального листа - стенки - и из горизонтальной плоскости ее полок под действием нагрузок в вертикальной плоскости. После потери общей устойчивости балка принимает вид, показанный на рис.8,а.

П роверять устойчивость балок не нужно в двух случаях:

1. если распределенная статическая нагрузка передается через сплошной жесткий настил, непрерывно опирающийся на сжатый пояс балки и надежно с ним связанный (например, через толстые стальные плиты, железобетонные плиты и т.п.);

2. если отношение расчетной длины пояса двутавровой балки lк ширине верхней полки b_пне превышает величин, приведенных вприлож.6.

Расчетная длина сжатого пояса принимается равной расстоянию между точками закрепления сжатого пояса от поперечных смещений (узлы горизонтальных связей, точки опирания ребер жесткого настила и т.д.); при отсутствии промежуточных закреплений - прогиба балки.

Если приведённые выше условия не выполняются, то необходимо проверить общую устойчивость балки по формуле

, (24)

где φ- коэффициент уменьшения допускаемых напряжений в балке с учетом обеспечения ее устойчивости.

Для балок двутаврового профиля

, (25)

где J_yиJ_x –моменты инерции соответственно осей yи x;

h –высота балки;

l–расчетная длинна сжатого пояса.

Если вычисленное значение 0,85 ≤ φ< 1, то его следует принимать равным 0,85; если 1 ≤ φ< 1,25, то φ = 0,9; если 1,25 ≤ φ< 1,55, то φ = 0,96;еслиφ ≥ 1,555, то φ = 1,00.

Коэффициент ψ, определяемый схемой балки и характером нагрузки, зависит от параметра α (рис. 9,а).

Параметр находят по формуле

(26)

П ри проектировании балки для проверки ее устойчивости в формулах (25) и (26) вместо расчетной длины сжатого пояса подставляют величину пролета балки. Если условие устойчивости (24) при этом не выполняется, то пролетlнеобходимо искусственно уменьшить, подставив закрепление. В первом приближении расстояние между закреплениями можно рассчитать из соотношения = 10…20 и затем определитьα и φ. В этом случае коэффициент φдолжен быть не менее 1. Если φоказывается меньше 0,85, то выполняется расчет во втором приближении. При этом lнужно уменьшить за счет дополнительных поперечных связей на балке (см. рис.8,б),

Проверка местной устойчивости элементов балки. Как конструктивный элемент балка представляет собой систему тонких пластинок, находящихся в напряженном состоянии. Если напряжения в пластинках достигнут критических значений, то может произойти их выпучивание или местная потеря устойчивости. Выпученная часть пластинки выключается из работы в данном сечении, и балка может потерять несущую способность. Поэтому, подобрав сечение балки, проверив ее на прочность, жесткость и общую устойчивость, необходимо убедиться в обеспечении жесткой устойчивости всех ее элементов.

Проверка устойчивости сжатого пояса балки. Пояс балки – пластина шириной , защемленная по одной продольной стороне (в месте присоединения к стенке балки) под воздействием равномерно распределенных сжимающих напряжений σ(рис.10). Для такой пластинки критическое напряжение

(27)

Е сли критическое напряжение будет выше σ_т, то поясок не потеряет устойчивости, так как раньше исчерпается прочность металла. Поэтому, подставив в формулу (27) вместо предел текучести и вместо b₀ половину ширины пояса, можно найти наибольшее отношение ширины полки b_Пк ее толщине , при котором местная устойчивость будет обеспечена:

. (28)

Здесь σ_т измеряется в мегапаскалях.

Учитывая возможность погнутости полок, что неблагоприятно влияет на устойчивость, предельное отношение b_п/S_п , определяемое по формуле (28), обычно занижают чтобы выполнилось условие

Проверка устойчивости стенок балки. В стенках балки потеря устойчивости может быть вызвана нормальными сжимающими напряжениями, касательными напряжениями и комбинацией нормальных и касательных напряжений (рис. 11)

С тенку балки можно рассматривать как пластинку, закрепленную в поясах в продольном направлении, причем, если отсутствуют под­крепления стенки в вертикальном направлении, ее можно считать бесконечно длинной полосой. Тогда местную устойчивость стенки балки проверяют в зависимости от отношения и напряженного состояния по условиям:

– если в балке отсутствую местные сжимающие напряжения от сосредоточенных нагрузок, то устойчивость стенки обеспечена при

; (29)

– стенка устойчива при наличии всех видов нагрузки если

, (29’)

где σ_т измеряется в мегапаскалях.

Если условия (29) и (29') не выполняются, то для повышения устойчивости стенки балки следует при заданной высоте балки уменьшить свободную длину стенки. Это достигается постановкой вертикальных рёбер жёсткости (рис. 12). Обычно их изготавливают из полос, реже из профильного проката.

Ш ирина и толщина ребра должны быть соответственно

(30)

Расстояние между ребрами жесткости определяют величиной действующих напряжений и размерами балки. Для обеспечения местной устойчивости стенки должно удовлетворяться условие

(31)

где m = 0,9 для подкрепленных балок, m=1 для прочих балок;

– напряжение, определяемое по формуле(22);

σ – нормальное напряжение на верхней кромке стенки

(32)

– среднее касательное напряжение в стенке

критическое нормальное напряжение при изгибе стенки, рассчитываемое по формуле

где – коэффициент, учитывающий степень защемления стенки в поясах, принимается в зависимости от γ

При расчете по этой формуле коэффициентС следует принимать равным 2 для подкрановых балок и равным 0,8 в прочих случаях.

При γ ≤ 0,8 = 63, при γ = 1 = 66,2, при γ = 2 = 70, при γ = 4 =70, при γ = 6 = 73,2, при γ = 10 = 73,7, при γ = 30 = 74,6, тогда критическое касательное напряжение определяется по формуле

,

где d- меньшая из сторон аи (см. рис.12,в), заключенная между поясами балки и вертикальными ребрами жесткости;

– отношение большей стороны (аили )к меньшей.

Ребра жесткости устанавливают в первую очередь в опорных сечениях балки и в местах приложения сосредоточенных неподвижных нагрузок. Расстояние между ребрами αиз технологических сообра­жений принимается одинаковым и равным (0,2…2,5) . Напряжение определяют по формуле

Значения находят по графику рис.9,б. Если высота балки очень большая ( >160), то стенку ее укрепляют дополнительно горизонтальными ребрами жесткости. Их располагают на расстоянииС=(1/4…1/5) от верхнего пояса (см. рис.12). Типичное конструктивное оформление крепления ребер жесткости представлено на рис.13.

Н азначение и расчет сварных соединений балки. При проверке прочности и устойчивости сконструированного сечения балки в расчетах не учитывались сварные швы, соединяющие пояса балки со стенкой (поясные швы) и возможные стыковые швы (стенки балки).

П оясные швы, как правило, – угловые (рис. 14,а), выполненные без разделки кромок. Разделка кромок позволяет получить соединение с более высокими механическими свойствами, но является дополнительной технологической операцией, увеличивающей стоимость изделий. Поэтому ее применяют лишь при наличии сосредоточенных перемещающихся грузов большой величины или при действии на балку переменных нагрузок.

Прочность сварных соединений определяют расчетом. Если балка работает на поперечный изгиб, то в поясных швах возникают связующие нормальные напряжения σ(рис.14,б) вследствие совмест­ной работы шва и основного металла, которые в расчет не принимаются, и рабочие касательные напряжения τ (рис 14,в). Поясныешвы обеспечивают монолитную работу всех составляющих элементов поперечного сечения балки. Срезывающие усилия на уровне крайних кромок стенки на единицу длины определяются по формуле

(33)

где Q – расчетная поперечная сила в рассматриваемом сечении;

момент инерции всего сечения;

S – статический момент площади пояса относительно центра тяжести сечения балки.

Касательные напряжения τ в угловом шве с катетом k от усилия Tопределяют на опасной плоскости, совпадающей с биссектрисой прямого угла:

(34)

где – допускаемое напряжение в шве при срезе, = (0,6…0,65)

При выполнении швов с разделкой кромок их прочность проверяют по формуле

(35)

Из уравнения (34) можно определить катет шва, что и требуется при проектировании поясных швов. Наименьшая величина катета принимается равной 4 мм, максимальная не должна превышать минимальной из свариваемых толщин или 15 мм, так как швы с катетомК= 15 мм имеют большие внутренние напряжения.

При наличии на балке сосредоточенных перемещающихся грузов поясные швы принимают участие в передаче нагрузки с пояса на стенку, что связано с их неплотным взаимным соприкосновением.

Возникающие в поясных швах напряжения (рис.14,г)от действия сосредоточенного груза определяют по формуле

(36)

где P – величина сосредоточенного груза;

0,4 - коэффициент, учитывающий, что условно 40 % подвижной нагрузки передается на стенку балки через поясные швы;

Z– расчетная длина шва, по которой происходит передача давления с пояса на стенку, определяемая по формуле (23).

Прочность поясного шва при наличии сосредоточенного перемещающегося груза проверяют порезультирующим напряжениям:

(37)

Перегруз более 5 % недопустим. В случае, когда максимальный катет не обеспечивает прочность, необходимо применять рельс большого размера.

Швы, приваривающие ребра жесткости, обычно расчетом на прочность не проверяются. Они выполняются угловыми с катетом k= (0,5…1,0) (здесь – наименьшая из соединяемых толщин, но 4 мм).

Если проектируется балка большой длины, то при ее изготовлении и транспортировке к месту монтажа возникает необходимость в назначении стыков балки (рис.15). Различают технологические стыки балок, которые выполняют на заводе, когда имеющийся в наличии прокат меньше требуемой длины балки, и монтажные, или укрупнительные, выполняемые на месте монтажа при соединении отправочных элементов.

М онтажные стыки конструируются универсальными, что удобно при перевозке, технологические могут быть всех трех типов.

Прочность стыков балок рассчитывают обычно на изгиб:

(38)

Если допускаемое напряжение в соединении [σ’]принимается меньше [σ], то такой стык оказывается неравнопрочным целому сечению. В этом случае стыки целесообразно помещать в сечениях, удаленных от зон максимальных изгибающих моментов.

К онструирование и расчет опорных частей балки. Опорными частями балки являются стальные плиты с одной цилиндрической поверхностью (рис.16). Опирающаяся на плиту балка при деформации под нагрузкой поворачивается, благодаря чему обеспечивает­ся шарнирноеопирание балки. На одной опоре балка закрепляется болтами или штырями, на другой она должна иметь свободу продольного пе­ремещения. Это достигается наличием овальных отверстий для штырей или установкой балки на цилиндрические катки.

Размеры опорных выпуклых плит назначают следующим образом. Ширину опорной плиты b₀ и длину а₀ принимают в зависимости от ширины нижнего пояса, опирающейся на неё балки b_п: b₀ = (1,1…1,2)b_п, а₀ = (1,0…1,5)b_п.

Радиус цилиндрической поверхности r₀= 1…2 м, толщина конца плиты

S≥ 15 мм. Толщину плиты по ее оси находят из условия прочности на изгиб по формуле

(38)

где М – изгибающий момент на оси плиты

R– величина опорной реакции;

b_Q – ширина опорной плиты;

d–диаметр отверстия для штыря (d= 18-25 мм);

[σ] - допускаемое напряжение при растяжении для материала плиты.

Если толщина плиты по расчету прочности оказывается больше 80-100 мм, то вместо сплошной рекомендуют сварную плиту.

РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТОЙКИ

Общие сведения о стойках. Типы поперечных сечений

С тойками называются вертикально расположенные стержневые сис­темы, по которым нагрузка от вышележащих конструкций (балок, ферм и т.п.) передается на фундамент. В стойках различают три ос­новные конструктивные части (рис.17): верхнюю, воспринимающую на­грузку, – оголовок 1; среднюю, несущую нагрузку, – стержень 2; нижнюю, передающую давление стойки на фундамент 4, – базу 3. В зависимости от условий передачи нагрузки стойки могут быть центрально-сжатыми и внецентренно-сжатыми, а их поперечные сече­ния – сплошными (рис.17,а) или сквозными (решетчатыми), состоящи­ми из отдельных ветвей (рис.17,б):Стойки должны быть не только прочны, но и устойчивы, поэтому поперечные сечения их должны обла­дать максимальной жесткостью по всем направлениям. Типы сечения, широко применяемые для стоек, показаны на рис.18.