3.2. Форми представлення логічних функцій

Існує багато способів представлення логічних функцій. На різних етапах побудови електронних автоматів використовують наступні представлення: словесне, числове, табличне, аналітичне та у вигляді геометричного графа.

Будь-яка логічна функція може бути представлена у вигляді словесного опису. Наприклад, функція Шеффера  , див. розд.2, словесно може бути описана так:   тоді, і лише тоді, коли обидва аргументи   та   дорівнюють одиниці. Для спрощення запису функцій алгебри логіки замість повного переліку аргументів використовують номери наборів, для яких функція приймає одиничне значення. Таку форму запису називають числовою.

Для невеликої кількості змінних зручний табличний метод представлення функцій у вигляді мінімізаційних карт Карно або діаграм Вейча.

Карта Карно являє собою певну форму таблиці істинності для двох, трьох, чотирьох і більше аргументів, рис.3.1. Таблиця істинності, як і карта Карно, містить всі   можливих вхідних наборів (n-число аргументів) і значень функції, які відповідають кожному із наборів.

Рис.3.1. Карти Карно для двох (а), трьох (б), чотирьох (в) змінних

 

Для двох змінних, рис.3.1,а, карта Карно являє собою квадрат, який розділений на чотири комірки, по одній на кожний вхідний набір. Рядки карти зв'язані із змінною  , стовпчики – з зміною  . Тоді розміщена ліворуч зверху комірка відповідає вхідному наборові (00) або  , а розміщена праворуч  внизу комірка - вхідному наборові (11) або  . Представлення логічної функції на карті Карно проводиться у відповідності до таблиці істинності. Коли функція   на вхідному наборі (00), то цей факт відображається на карті Карно записом у ліву верхню комірку одиниці.

Аналогічно записується одиниця і в інші комірки, де функція      . Комірка праворуч знизу при вхідному наборі   не заповнюється. Карта Карно може заповнюватись нулями у ті ж комірки, на вхідних наборах яких функція дорівнює нулю. На практиці більше застосовують перший спосіб представлення функцій.

У випадку трьох змінних, карта Карно рис.3.1,б, містить вісім комірок, по одній для кожного вхідного набору, який показаний всередині комірки. Змінна   зв'язана з двома рядками карти, а змінні   та   – з чотирма стовпчиками. Таким чином, будь-які поряд розміщені комірки являються сусідніми і їх координати відрізняються лише однією змінною. Крім того, сусідніми є комірки, які розміщені у першому та останньому стовпчику карти.

Оскільки для чотирьох змінних існує 16 вхідних наборів, карта Карно розділена на 16 комірок (див. рис.3.1,в). Кожна комірка пронумерована у відповідності до порядкового номера вхідного набору у десятковій системі числення.

Для невеликого числа змінних (порядку 4-6) використовують також, так звані, діаграми Вейча. На мал.3.2 показані діаграми Вейча для функцій двох, трьох, чотирьох, п'яти та шести аргументів. Кожному із   наборів значень аргументів відповідає одна комірка на діаграмі Вейча. Коли на даному наборі аргументів функція дорівнює одиниці, то у відповідну даному наборі комірки діаграми записують одиницю. Комірки, що відповідають наборам, на яких функція дорівнює нулю, або заповнюється нулями, або залишаються пустими. Кожна змінна розбиває діаграму Вейча на дві половини – половину   та половину  . Половина карти, що відповідає неінвертованим аргументам, відзначена лінією, біля якої проставляють аргументи.

Рис.3.2. Діаграми Вейча для 2, 3, 4, 5 та 6 змінних

Усім наборам значень аргументів, які починаються з 1, і, як наслідок, всім мінтермам з неінверсним   відповідає половина діаграми, що відзначена  , а всім наборам, що починаються з 0. і, як наслідок, всім мінтермам з інверсним   відповідає половина діаграми, не відзначена  . Те саме можна сказати і стосовно до інших аргументів. Таким чином, наборам (0,0), (0,0,0),..., (0,0,0,0,0,0) і мінтермам  ,  , ...,   відповідає комірка з номером 0, набором (0,1), (0,0,1),..., (0,0,0,0,0,1) і мінтермам  ,  , ...,   - комірка з номером 1, наборам (1,0), (0,1,0),..., (0,0,0,0,1,0) і мінтермам  ,  , ...,   - комірка з номером 2 і т.д.

Для прикладу заповнимо карти Карно та діаграми Вейча для функції   (приклад 1). Розділ мінтерм та заповнення відповідним чином карти Карно та діаграми Вейча для цієї функції відповідно показані на рис.3.3, та рис.3.4.

Рис.3.3. Карта Карно для прикладу 1

 

Рис.3.4. Діаграма Вейча для прикладу 1

Приклад 2.

Побудувати карти Карно та діаграми Вейча для функції  . Функція ДДНФ у своєму складі містить наступні мінтерми

. Розподіл мінтермів та заповнення відповідним чином карти Карно (див. рис.3.5,а,б) та діаграми Вейча (рис.3.5,в,г) для цієї функції показують, що у випадку збільшення змінних n>6 карти Карно та діаграми Вейча стають громіздкі та незручні для практичного використання.

Існують і аналітичні форми представлення функцій алгебри логіки. Аналітичний спосіб передбачає запис функції у формі логічного виразу, який показує, які логічні операції і в якому порядку над аргументами функції потрібно виконати.

Рис.3.5. Карта Карно- а, б та Вейча- в, г до прикладу 2