Тема 6. Функции нескольких переменных

В теме 6 рассматриваются следующие вопросы:

6.1. Функции двух переменных. Основные понятия.

6.2. Линии уровня функции двух переменных.

6.3. Предел функции двух переменных.

6.4. Непрерывность функции двух переменных.

6.5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области.

6.6. Частные производные функции двух переменных.

6.7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.

6.8. Частные производные высших порядков.

6.9. Дифференциалы высших порядков.

6.10. Производная сложной функции.

6.11. Производная функции по направлению. Градиент.

6.12. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.

6.13. Условный экстремум функции двух переменных.

Метод множителей Лагранжа.

6.14. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.

6.15. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений.

6.1. Функции двух переменных. Основные понятия

костям и представляют параболы (например, при , при и т. д.). В сечении поверхности координатной плоскостью , т.е. плоскостью , получается окружность . График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 15.2).

6.2. Линии уровня функции двух переменных

температуры.

Пример. Построить линии уровня функции .

6.3. Предел функции двух переменных

6.4. Непрерывность функции двух переменных

6.5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

6.6. Частные производные функции двух переменных

6.7. Дифференцируемость и полный дифференциал

функции двух переменных

6.8. Частные производные высших порядков

6.9. Дифференциалы высших порядков

6.10. Производная сложной функции

6.11. Производная функции по направлению. Градиент

6.12. Экстремум функции двух переменных.

Необходимое и достаточное условия экстремума

6.13. Условный экстремум функции двух переменных.

Метод множителей Лагранжа

Пример. Найти точки экстремума функции при условии , используя метод множителей Лагранжа.

Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю её частные производные, получим систему уравнений

6.14. Наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой области

Найдем все критические точки:

6.15. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений

была минимальной.