1.3. Відокремлення коренів. Графічний та аналітичний розв’язки рівняння

Графічний метод. Нехай дано рівняння f(x)=0, де функція f(x) визначена і неперервних в деякому інтервалі (a; b). Нехай наша функція f(x) має першу та другу похідну.

Необхідно знайти таке число , що f(α)=0 – α корень рівняння. Нехай рівняння (1) має тільки ізольовані корені, тобто для кожного кореня α існує окіл в якому немає інших коренів рівняння.

Тоді наближене знаходження ізольованих дійсних коренів складається з 2х етапів:

1. Відокремлення кореня, тобто знаходження проміжка [a, b] в якому знаходиться один і тільки один корень рівняння.

2. Уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданої степені точності ε.

Нехай, f(x)= , тоді ,

П

у

обудуємо графіки , знаходимо αє [a, b] (Рис. 1)

х

0

а

b

Рис. 1 – Графіки функцій Рис. 2 – Графіки функцій ;

Приклад:

f(x) = lnx-x+2, lnx=x-2, (Рис. 2)

Аналітичний метод. Аналітичний метод відокремлення коренів ґрунтується на теоремах з курсу математичного аналізу. Сформулюємо їх.

Теорема 1 (теорема існування кореня). Якщо функція неперервна на <а;b> і набуває на кінцях цього відрізка значень протилежних знаків, тобто f(a) f(b) < 0, то всередині відрізка <а;b> існує хоча б один корінь рівняння f(x)=0.

Зазначимо, що теорема не дає відповіді на питання про кількість коренів рівняння (1),які належать <а;b>. При виконанні умов теореми рівняння може мати й кілька ко­ренів.

Теорема 2 (теорема існування і єдиності кореня). Якщо функція f(x), неперервна і диференційована на <а;b>, набуває на кінцях цього відрізка значень різних знаків, а похідна f '(x) зберігає сталий знак всередині відрізка <а;b>, то рівняння f(x) = 0 на цьому відрізку має корінь, причому єдиний.

У відповідності з теоремами 1 і 2 алгоритм відокремлення коренів рівняння (1) можна сформулювати так:

1. Знайти область визначення рівняння.

2. Знайти критичні точки функції f(x).

3. Записати інтервали монотонності функції f(x).

4. Визначити знак функції f(x) на кінцях інтервалів монотонності.

5. Визначити відрізки, на кінцях яких функція f(x) набуває значень протилежних знаків.

6. Знайдені відрізки ізоляції коренів при необхідності звузити.

1.4. Метод половинного ділення

Нехай дано рівняння f(x)=0 де f(x) неперервна на [a, b] і f(a)*f(b)<0. Для знаходження кореня рівняння f(x) =0 на [а; b], ділимо [а; b] навпіл.

Якщо f( ) то беремо ту половину відрізку [a; ] або [ ] на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і знову шукаємо різні значення f(x). Маємо сукупність вкладених відрізків [ ]; [ ] … [ ].

.

Ділимо відрізок поки | | < ε тоді α= , корень рівняння f(x)=0.

1.5. Метод хорд

Рівняння прямої, яка прохо-дить через точки M’[a,f(a)] і M[b,f(b)]:

Цей метод забезпечує швидку збіжність, ніж метод половинного ділення. Ідея методу полягає в тому, що на достатньо малому проміжку [a,b] функція f(x) змінюється лінійно і тому дуга кривої f(x) замінюється хордою, яка її стягує. За наближене значення кореня можна прийняти точку перетину хорди з віссю абсцис (точка А на рис.3)

Абсциса точки А, є наближеним коренем х₁, яка була знайдена з рівняння прямої, якщо покласти у = 0, тоді х = х₁

Якщо значеня кореня х₁ нас не задовольняють, його можна уточнити, застосувавши метод хорд до відрізку [х₁,b].

Ітераційна формула

За наведеними формулами обчислюють корені і тоді, коли f(a) > 0; f(b) < 0; f’(x) < 0; f’’(x) < 0, тобто, коли f’(x) ·f’’(x) > 0.

У випадку, коли перша і друга похідні мають різні знаки, тобто f’(x) ·f’’(x) < 0,то ітераційна формула має вигляд

Метод хорд має лінійну збіжність – похибка на наступній ітерації пропорційна (лінійно) похибці на попередній ітерації.