1.1. Перша інтерполяційна формула Ньютона.

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (30) звичайно записують у іншому вигляді. Для цього введемо нову змінну q:

тоді

Підставляючи ці вирази у формулу (30), одержимо:

(31)

де – число кроків, необхідних для досягнення точки х, виходячи із точки х₀. Це і є остаточний вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона.

Формулу (31) зручно використовувати для інтерполяції функції в околі початкового значення х–х₀, де q мале за абсолютною величиною.

Якщо у формулі (31) покласти n=1, то одержимо формулу лінійної інтерполяції:

.

При n=2 будемо мати формулу параболічної або квадратичної інтерполяції:

Якщо дано необмежену таблицю значень функції у, то число n в інтерполяційній формулі (31) може бути довільним. Практично в цьому випадку число n вибирають так, щоб різниця була сталою із заданим степенем точності. За початкове значення х₀ можна брати будь-яке табличне значення аргументу х.

Якщо таблиця значень функції скінченна, то число n обмежене, а саме: n не може бути більше числа значень функції у, зменшеного на одиницю.

Зауважимо, що при застосуванні першої інтерполяційної формули Ньютона зручно користуватися горизонтальною таблицею різниць, тому що тоді потрібні значення різниць функції знаходяться у відповідному горизонтальному рядку таблиці.

1.2 Друга інтерполяційна формула Ньютона

Перша інтерполяційна формула Ньютона незручна для інтерполяції функції поблизу кінця таблиці. У цьому випадку використовується друга інтерполяційна формула Ньютона. Знайдемо цю формулу.

Нехай маємо систему значень функції

для рівновіддалених значень аргументу

Побудуємо інтерполяційний поліном такого вигляду:

або, використавши узагальнений степінь, одержимо:

(32)

Наше завдання полягає у визначенні коефіцієнтів а₀, а₁, а₂, а₃,…,а_n таким чином, щоб були справедливі рівності

Для цього необхідно й достатньо, щоб

(33)

Покладемо х=х_n у формулі (14). Тоді будемо мати:

отже,

Далі беремо від лівої й правої частин формули (32) скінченні різниці першого порядку

Звідси, поклавши х=х _n-1 і врахувавши співвідношення (33), будемо мати:

Отже,

Аналогічно склавши другу різницю від одержимо:

Поклавши х=х_n-2, знаходимо:

.

Отже,

Характер закономірності коефіцієнтів зрозумілий. Застосувавши метод математичної індукції, можна довести, що

(34)

Підставляємо ці значення у формулу (30), будемо мати остаточно:

(35)

Формула (35) називається другою інтерполяційною формулою Ньютона.

Введемо зручніший запис формули (35). Нехай , тоді

Підставимо ці значення у формулу (35), одержимо:

(36)

Це і є звичайний вигляд другої інтерполяційної формули Ньютона. Для наближеного обчислення значень функції у покладають: .