5.4. Розв’язування матричної гри

5.4.І. Графічний метод

Випадок гри 2х2

Розглянемо геометричну інтерпретацію гри 2х2.

Нехай задано таку матрицю:

Ймовірність використання стратегії позначимо через , а ймовірність використання стратегії через .

Оскільки

то розв’язок задачі буде на відрізку . Побудуємо цей розв’язок геометрично.

На відрізку (рис. 5.3) точці 0 відповідає стратегія , а точці 1 – стратегія . Проведемо з цих точок перпендикуляри, а потім на них зробимо позначки виграшів з боку А:

– на прямій 1 відкладаємо значення та (стратегія );

– на прямій 2 – значення та (стратегія ).

Потім з’єднаємо відповідні точки згідно зі стратегіями та і на перетині цих прямих знаходимо точку , яка відповідає максимуму гарантованого успіху сторони. Нижня (гарантована) межа виграшу є нижньою ломаною лінією графічного зображення (на рис.5.3 жирна лінія).

Точка відповідає оптимальному розв’язку гри з ціною , розмір якої дорівнює відрізку . Точка поділяє відрізок таким чином, що відрізок дорівнює значенню , відрізок – значенню , а мішана стратегія має вигляд .

1 2

К

а₁₂

1

Рис. 5.3 Рис.5.4

Точка N має максимальну ординату. Але можливі такі випадки:

а) точка перетину прямих стратегій сторони В відсутня (наприклад, як показано на рис. 5.4). У цьому разі нижня пряма зображує нижню межу виграшу, а тому, якщо немає точки перетину, то оптимальна стратегія гри буде в точці К для сторони А, тобто в точці з максимальною ординатою нижньої межі. Такий випадок показує вигідність стратегії з боку А.

б) точка перетину має меншу ординату ніж кінцеві точки нижньої межі (наприклад, як показано на рис. 5.5).

Точка М має більшу ординату ніж точка .

Тому оптимальною буде стратегія у точці М,

а це означає, що стратегія вигідніша ніж

N M стратегія сторони А.

Випадки гри та .

У грі нижня межа має складну ломану

лінію, на якій треба вибрати точку з макси-

мальною ординатою (наприклад, як показа-

А₁ Рис.5.5 А₂ но на рис.5.6).

У такій грі достатньо знайти активні стратегії з боку В, які утворюють точку , а потім ця гра перетворюється на гру , яка має прості методи розв’язування.

Таким чином, один з напрямків зменшення розміру гри – визначення активних стратегій гри.

Практично гру розв’язують у такій послідовності:

1. Будують графічне зображення гри.

В₄ 2. Позначають нижню межу виграшу

В₃ N (звичайно, жирною лінією).

3. Знаходять точку межі з максимальною

В₂ ординатою – це точка оптимуму.

4. Знаходять пару активних стратегій, які

В₁ утворюють точку оптимуму.

Рис.5.6 5. Знаходять величини та .

Аналогічно треба зробити в процесі розв’язування гри з тією лише різницею, що спочатку будують верхню межу виграшу (пряму ), а потім знаходять точку з мінімальною ординатою (наприклад, як показано на рис. 5.7).

Розглянемо приклад простої гри. Знайти величину для такої матриці:

	1	4	5,5
	5	6	2,0

Побудуємо графічний розв’язок задачі (рис. 5.8).

Нижня межа виграшу позначена жирною лінією. Згідно з аналізом можна зазначити, що стратегія В₂ зайва, її можна виключити з розгляду оскільки вона не впливає на розв’язок.

В₂

К L В₃

A₁

N M

A₂ B₂

A₃ B₁

B₂ B₁ A₁ P₂ =0,6 P₁=0,4 A₂

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Переконаємося в цьому геометрично.

Стратегія знаходиться вище нижньої межі, тому активними стратегіями будуть тільки стратегії та . У цьому разі гра зводиться до гри , тобто матриця зменшується на колонку . До цього можна прийти, використовуючи таке правило:

усі елементи другої колонки перевищують відповідні елементи першої колонки, тому другу колонку можна виключити з матриці.

Згідно з побудованим графіком розв’язок задачі буде таким:

.

Оскільки значення міститься в діапазоні , то можна перевірити правильність знайденого значення :

Таким чином, .

Розв’язок задачі можна знайти також розв’язуванням системи рів­нянь прямих, які утворюють точку перетину А :

Розв’язок прикладу показує перевагу стратегії А₂ ( 0,6 60,0% ) перед стратегією А₁ ( 0,4 40,0% ). Це практично означає, що з 10 разів доцільно брати 6 разів стратегію та 4 рази стратегію , щоб одержати оцінку не менше 3,4.