Максимін для неї

,

а мінімакс

.

Таким чином, , тобто існує сідлова точка, яка відповідає стратегіям та (елемент ). Вибір іншої стратегії призведе до гірших результатів сторони, яка відхилиться від сідлової точки.

5.3. Мішані стратегії

Якщо немає сідлової точки , то з’являється невизначеність у виборі стратегії з наявної сукупності чистих стратегій. При багаторазовому повторенні гри інтерес відповідає середньому виграшу усієї гри, а не виграш

у кожній її партії. Такий виграш можна знайти при користуванні мішаною стратегією, за допомогою якої знаходять вибір чистих стратегій.

Мішана стратегія – це сукупність імовірностей вибору чистих стратегій, тобто це вектор

,

де і

Наведене випливає з того, що чисті стратегії є несумісними подіями, які складають повну групу елементарних подій. Тому тільки одна подія може бути вибрана при створенні конкретної ситуації в процесі гри.

Мішану стратегію з боку В можна зобразити аналогічно:

,

де і

Зауважимо, що іноді не всі чисті стратегії беруть участь у розв’язуванні задачі. Чисті стратегії, які увійшли в мішану стратегію з відмінними від нуля ймовірностями, називають активними.

Оскільки сума ймовірностей чистих стратегій дорівнює одиниці, то будь-яку чисту стратегію можна вважати мішаною з імовірністю одиниця, а інші чисті стратегії прирівняти до нуля.

При цьому мішана стратегія

,

де , тобто четверта чиста стратегія одночасно є мішаною.

Розглянемо таку теорему: якщо одна із сторін дотримується оптимальної стратегії, то її виграш ставить не менше ціни гри незалежно від того, які рішення приймає друга сторона.

Формально ця теорема розуміється так.

Якщо сторона А використовує мішану стратегію

,

то в разі будь-якої відповіді з боку В виграш не повинен бути меншим від значення , тобто

.

Аналогічно для сторони В: якщо використовується мішана стратегія , програш у разі будь-якої відповіді з боку А не повинен перевищувати значення , тобто

.

Таким чином, для знаходження оптимальної мішаної стратегії необхідно та достатньо виконати нерівності всіх співвідношень розглянутої теореми.

Часто при застосуванні мішаних стратегій користуються механізмом випадкових чисел для вибору чистих стратегій.

У складних іграх іноді застосовують засоби, які спрощують ці ігри. Такі засоби дають змогу зменшити розміри матриці (тобто зменшується кількість стратегій):

– виключення дублюючих рядків, якщо вони існують;

– виключення явно невигідних рядків чи колонок порівняно з іншими домінуючими стратегіями.

Рядок вважається невигідною стратегією сторони А, якщо всі його елементи менші за відповідні елементи іншого домінуючого рядка.

Колонка є невигідною стратегією сторони В, якщо всі її елементи перевищують відповідні елементи іншої домінуючої колонки.

Замість заданих чистих стратегій уводяться об’єднані стратегії, які дорівнюють середньозваженим значенням чистих стратегій. При цьому припускається, що об’єднані чисті стратегії чергуються випадково з однаковою ймовірністю.