5.2. Матрична гра з нульовою сумою

Найповніше розроблені методи розв’язування скінченої парної гри з нульовою сумою, яку й розглянемо далі. Такі ігри описують найпростіші конфліктні ситуації і теоретично більш розроблені.

Гру називають грою з нульовою сумою, якщо одна із сторін виграє все те, що програє інша, тобто сума виграшу сторін

,

де – дії сторін, які називають стратегіями.

Таким чином, така гра є замкненою системою, оскільки виграш однієї сторони відбувається повністю за рахунок програшу іншої.

Величина – це результат гри для вибраної -пари стратегій, яку називають наслідком гри. Ця величина показує ступінь виграшу першої сторони та програшу іншої, коли зроблено і-й хід та дано -ту відповідь супротивника.

Якщо стратегії та вибирають однозначно з ймовірністю, яка дорівнює одиниці, то такі стратегії називають чистими.

Розглянемо парну гру з нульовою сумою.

Нехай маємо т стратегій першої сторони та п стратегій другої сторони гри. Кожна пара стратегій (по одній з кожної сторони) та відображають конкретну -ту стратегію, яка оцінюється деякою функцією .

Усі наслідки гри зобразимо у вигляді платіжної матриці , тобто. . У цій матриці рядки відображують т стратегій сторони А, колонки – п стратегій сторони В:

			...
...

Величини платіжної матриці можна зобразити або числом, або залежністю у вигляді функції виграшу . Якщо , то виграє сторона А, якщо , то виграє сторона В.

При розв’язуванні матричної гри з нульовою сумою достатньо знати матрицю тільки одного гравця. Для другого гравця виграш відрізняється тільки знаком .

Розглянемо простий приклад гри.

Підприємство випускає три види продукції , , , попит на які змінюється і може набувати чотири стани , , та . Згідно з попитом задаються розміри цін одиниці кожного виду продукції у вигляді платіжної матриці :

	1	1	2	6
	4	3	1	4
	2	5	3	3

Треба знайти оптимальну поведінку однієї із сторін: при цьому перша сторона – підприємство – максимізує свій виграш, тобто робить спробу продати свій товар найдорожче, друга сторона – покупець – намагається мінімізувати свій програш, тобто купити товар найдешевше.

З отриманої матриці очевидно, що коли є попит , то краще підприємству випускати продукцію і далі та . 3 іншого боку, коли випускається продукція , то найдешевший товар буде при попиті або і т.д.

Розглянемо процес вибору стратегій, коли йдеться про гру з нульовою сумою. Такі задачі розв’язують за принципом мінімаксу.

Формалізація принципу мінімаксу така:

коли вибрано стратегію , то друга сторона В намагається зменшити свій програш

,

а тому сторона А з можливих значень повинна вибрати максимальне, тобто

.

Ця величина є гарантованим успіхом (виграшем) сторони А для будь-якої відповіді сторони її називають максиміном або нижньою межею ціни гри з боку А. Тому , де – ціна гри.

Отже , коли гравець А дотримується стратегії максиміну, то йому гарантовано успіх не менш ніж величина а.

З боку В, за аналогією, проводимо аналіз усіх матриці і знаходимо найбільшу небезпеку від А

,

а потім для її зменшення вибираємо найменшу величину з множини :

.

Ця величина вказує на найменші збитки з боку В у разі правильної гри, тобто сторона В не повинна програвати більше ніж (обмеження програшу). Цю величину називають мінімаксом або верхньою межею ціни гри з боку А оскільки виграти більше сторона А не може у разі правильної гри з боку В . Таким чином, має місце .

Узагалі маємо .

Розглянемо процес вибору стратегії з боку А згідно з матрицею прикладу.

Якщо вибрано стратегію , то, цілком зрозуміло, що з іншого боку в особі покупця, найбільш зручний попит відповідає мінімальному програшу ,

аналогічно для маємо

,

а для

.

Значення – це ціни на продукцію, якщо мінімальна ціна регулювалась би попитом. Цілком очевидно, що в разі інших відповідей з боку В виграш сторони А зростає, а з боку В зменшується.

Такий вибір підсумків гри можна записати у вигляді

.

За аналогією маємо

та ,

.

Існують ігри, в матриці підсумків яких є такий елемент, що одночасно є мінімальним серед максимальних стратегій по колонкам та максимальним серед мінімальних стратегій по рядкам. У цьому разі ситуацію називають рівноважною оскільки вибір цього елемента влаштовує обидві сторони.

Такий елемент називають сідловою точкою матриці, а саму гру – грою із сідловою точкою. Термін „сідлова точка” використовують за аналогією з конфігурацією сідла, яке скривлюється вгору за одним напрямком і вниз – за іншим (рис. 5.2).

Для такої гри , де

– елемент -ї колонки, ;

– сідлова точка (точка рівно-ваги); – елемент - го рядка,

Рис.5.2 .

Гра із сідловою точкою має єдиний розв’язок, який задовольняє обидві

сторони. Такий розв’язок є оптимальний, а вибрані стратегії згідно з цим розв’язком є чисті. Отже, якщо обидві сторони відповідають правильно, то розв’язок буде єдиним , що влаштовує обидві сторони, тобто

.

Наприклад, нехай задано таку матрицю:

А
	1	0	3	5
	3	2	4	3
	0	1	-1	4