4.5 Інші типи задач

На практиці існують більш складніші задачі ПП.

Випадок, коли величини та одночасно є змінними від параметра , можна зобразити у вигляді такої математичної моделі:

Щоб розв’язати таку математичну модель, використовують одночасно сумісний аналіз величин та , на основі якого знаходять загальні діапазони зміни .

Узагальненням задач ПП є наступна математична модель

Така математична модель потребує додаткових досліджень і є складною задачею ПП. Єдиний підхід до її розв’язання знаходиться поки що на стадії пошуку, а сьогодні є тільки часткові випадки розв’язування загальної моделі задачі ПП.

Висновки

Задачі ПП утворюють найважливіший для практики клас ЗЛП, оскільки можна варіювати такими величинами, як , та . Це надає задачам гнучкості щодо їх застосування, якщо залучити апарат математичного програмування.

Задачі ПП дають змогу:

Аналізувати конкретну виробничу ситуацію і знаходити сукупність початкових даних для ефективного досягнення мети виробництва.
В умовах невизначеності встановлювати діапазони зміни початкових даних.
Досліджувати математичну модель задачі за кількома цільовими функціями, тобто використовувати метод послідовних критеріїв.
Аналізувати на чутливість знайдений оптимальний розв’язок.

Контрольні запитання

Що називають параметром ?
Чи можна розв’язати задачу ПП другого типу, використовуючи алгоритм розв’язування задачі першого типу?
В яких випадках задача ПП не має розв’язку?
Що таке стійкість знайденого оптимального розв’язку?

РОЗДІЛ 5

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ІГОР

5.1. Загальна характеристика та класифікація ігрових задач

Реальні господарські та життєві ситуації найбільш близько підходять до задач з неповною чи невірогідною інформацією. Тому існує ряд задач, в яких розв’язок знаходять в умовах невизначеності. При цьому можна відокремити дві чи більше сторін, кожна з яких має частково або повністю протилежну мету. Таким задачам притаманна неповна інформація в діях сторін, що, в свою чергу, спричиняє деякий елемент довільності у процесі прийняття рішень, тобто ризик.

Такі задачі становлять окремий клас задач, в яких розв’язуються конфліктні, тобто антагоністичні, ситуації.

В умовах конфлікту треба враховувати не тільки свої власні інтереси, а й інтереси партнерів з протилежного боку. Такі задачі називають ігровими, а напрямок прикладної математики, який об’єднує методи розв’язування таких конфліктів, – теорією ігор. Таким чином, теорія ігор – це математична теорія конфліктних ситуацій.

Сфери застосування ігрових задач різні: воєнна чи дипломатична політика, юридичні сторони, арбітраж, біологічні види в боротьбі за існування, техніко-економічні вимоги до виробів, різні господарські задачі діяльності підприємств згідно з рядом звітних показників, спортивні ігри (шахи, футбол та ін.) тощо.

Ігрові задачі дуже часто зустрічаються в побуті. Наприклад, йдучи на роботу, необхідно користуватися автобусом. Підходячи до зупинки, ви повинні стати до черги, тобто ваші інтереси – зайняти зручне місце в салоні: бажання вибрати сторону в затінку в жарку погоду зіткнулися з інтересами інших пасажирів. Така ситуація є ігровою.

Ігрові задачі поділяють на класи: задачі, в яких початкова інформація подається у вигляді матриці, відображуються матричною грою, та задачі з довільною формою подання початкової інформації. З точки зору кількості варіантів вибору розв’язків з кожної сторони, що ведуть гру, відокремлюють скінченні та нескінченні ігри. Скінченою називають гру зі скінченою множиною допустимих стратегій її проведення; якщо множина допустимих стратегій необмежена, то таку гру називають нескінченною.

Якщо в грі беруть участь дві конфліктні сторони, то її називають парною, якщо більше – множинною. Причому множинні ігри можливі з угрупованнями (коаліції, команди та ін.) Якщо таких угруповань дві, то множинна гра зводиться до парної. Приклади таких угруповань: у спортивних іграх – команди, у громадських явищах – класи, соціальні групи. Звернемо увагу на те, що дуже часто з однієї сторони гри розуміють природу, з іншої – людську діяльність.

Щодо парної гри, то можливі два результати: сума виграшу та програшу дорівнює нулю; таку гру називають грою з нульовою сумою; якщо сума не дорівнює нулю – грою з довільною сумою.

Ігри з нульовою сумою поділяють на два класи: з сідловою точкою та без неї.

Ігри з довільною сумою можливі з коаліціями (угрупованнями) з кожної сторони, а тому існують ігри безкоаліційні (без угруповань) та кооперативні (з можливими угрупованнями).

Решта ігор – множинні, нескінченні та ін. є дуже складні і сьогодні існують тільки деякі спроби щодо їх розв’язування.

Якщо розглядати ігри з точки зору кількості інформації, яка є в партнерів відносно минулих ходів, то ігри можливі з повною та неповною інформацією.

Розглянутий варіант класифікації ігрових задач зображено на рис.5.1.

Теорія ігор