2.6. Розв’язування двоїстої задачі

Використовуючи перші дві теореми та при відомому розв’язку однієї із задач двоїстої пари, можна знайти розв’язок другої задачі з цієї пари. Таким чином, теореми двоїстості дають змогу на основі розв’язку однієї задачі лінійного програмування знайти розв’язок двоїстої до неї задачі..

Така необхідність виникає тоді, коли є деякі труднощі у розв’язуванні однієї з двоїстої пари задач. Крім того, обсяг обчислень при використанні симплекс-методу залежить від кількості обмежень, тому доцільно розв’язувати одну із задач двоїстої пари з меншою кількістю обмежень. Якщо задача має п обмежень, то практично доведено, що для знаходження розв’язку такої задачі буде потрібно зробити приблизно арифметичних операцій.

Згідно з теоремою 2 можна виконати аналіз на дефіцитність тих або інших ресурсів, які задані в задачі. Справді, якщо повністю використовується і-й ресурс, то відповідне обмеження стає строгим рівнянням, тобто

У цьому разі згідно з теоремою 2 відповідні змінні двоїстої задачі .

Тому змінні показують міру дефіцитності початкових ресурсів: ресурс, який використовується повністю, має невід’ємну оцінку, а ресурс, який використовується не повністю – нульову.

За допомогою теореми 3 можна проаналізувати вплив розміру початкових і-х ресурсів на значення без повторення розв’язування задачі в разі зміни значення .

Якщо відомий розв’язок однієї із задач двоїстої пари, то розв’язок другої задачі з цієї пари можна знайти без її розв’язування симплекс-методом. При цьому можливі такі випадки.

Першій випадок. Оптимальний розв’язок однієї задачі з двоїстої пари наведено у вигляді симплекс-таблиці. Згідно з теоремою 1 використовується така відповідність

та

причому: якщо , то ,

якщо , то .

Це означає, що кількість змінних дорівнює кількості основних змінних , а кількість змінних дорівнює кількості основних змінних .

Відповідність змінних симплекс-таблиці така:

– рядок змінних прямої задачі;

– рядок величин , тобто індексний ря-док симплекс-таблиці, який відображує змінні двоїстої задачі .

Така форма зручна для аналізу добутих розв’язків, коли відома оптимальна симплекс-таблиця.

Другий випадок. Відомі тільки значення змінних та цільова функція однієї із задач двоїстої пари. При цьому використовують теорему 2:

відомі змінні підставляють в обмеження розв’язаної задачі та за знаком „=” чи „ ” встановлюють, які змінні нерозв’язаної задачі дорівнюють нулю; потім за значенням змінних (які дорівнюють або не дорівнюють нулю) розв’язаної задачі встановлюють, які обмеження другої задачі перетворюються на строгі рівняння; з цих рівнянь складають систему рівнянь, яку розв’язують відносно змінних нерозв’язаної задачі.

Розглянемо приклад.

Необхідно знайти оптимальний розв’язок наступної задачі лінійного програмування:

а потім згідно з теоремами двоїстості знайти оптимальний розв’язок двоїстої їй задачі

Розглянемо два випадки.

Перший випадок. Відомий оптимальний розв’язок прямої задачі у вигляді симплекс-таблиці:

			2	1	0	0	0
0		7	0	0	1	-2/3	7/3
1		1	0	1	0	1/3	-2/3
2		4	1	0	0	1/3	1/3
			0	0	0	1	0

Згідно з цією симплекс-таблицею маємо

тобто та .

Другий випадок. Проаналізуємо значення :

підставимо значення та в обмеження, а потім з’ясуємо, які змінні стають нульовими:

Згідно зі значеннями з’ясуємо, які обмеження двоїстої задачі стають строгими рівняннями:

Унаслідок такого аналізу розв’язок двоїстої задачі такий:

та .