3.4.3. Спосіб подвійних позначок

Цей спосіб, крім значень , використовує ще й позначення таблиці, яке виконують у такій послідовності: спочатку позначають клітину з мінімальним значенням у кожному рядку таблиці, а потім у кожній колонці.

Результатом такого позначення є три підмножини клітин: з подвійною позначкою, однією та без позначок.

Після такого позначення в першу чергу заповнюють клітини таблиці з подвійною позначкою, потім – з однією, а в останню чергу – клітини без позначок.

Базисний план за цим способом для наведеного прикладу такий:

	1	2		3
І	30			20	vv	50
ІІ	v	40	vv			40
	30	40		20

Етап II. Знаходження оптимального розв’язку.

3.4.4. Аналіз плану на оптимальність

Для проведення аналізу знайденого плану на оптимальність треба знайти значення потенціалів та . З цією метою складають систему рівнянь потенціалів для всіх :

.

Однак слід зауважити, що до складання системи рівнянь потенціалів треба перевірити знайдений план на виродження і якщо виявиться виродження, треба ввести фіктивні базисні змінні.

Для знаходження значень змінних хоча б одного допустимого розв’язку системи необхідно одну із змінних чи взяти будь-якою константою, найпростіше – нульовою, у такому разі система матиме один розв’язок.

Значення потенціалів та означають наскільки доцільно закріплювати ресурси саме за цією точкою. За знайденими значеннями потенціалів та обчислюють значення для змінних . Для цього складають рівняння потенціалів (для ), а потім за допомогою безпосередньої підстановки в ці рівняння значень та знаходять значення . Потім виконують аналіз на оптимальність .

Розглянемо приклад, коли перший базисний розв’язок знайдено діагональним способом. Складемо рівняння потенціалів для :

Система не вироджена. Тому для знаходження одного з її розв’язків один з потенціалів зрівнюємо з константою, наприклад, . Тоді матимемо такий розв’язок системи:

.

Підставимо знайдені значення та у рівняння потенціалів для змінних та визначимо , потім порівняємо їх з відповідними значеннями :

Проаналізувавши величини та і зробимо висновок, що для умова оптимальності не виконується.

3.4.5. Побудова циклу перерозподілу ресурсів

Щоб знайти новий план розподілу ресурсів, треба виконати такі дії. Для змінної , яка не виконає умови оптимальності, необхідно скласти цикл перерахунку об’ємів перевезень. Якщо є кілька змінних , які не виконують умов оптимальності, слід вибрати таку з них, для якої , тобто таку, яка найбільше порушує умови оптимальності. Ця величина вказує на максимальну економію, якщо змінну перевести до базису.

Вибрана змінна є початком циклу.

Цикл – це замкнена ломана, яка в кожній вершині змінює напрямок під кутом 90°.

Правила побудови циклу наступні:

• усі вершини циклу, крім початкової, повинні проходити через базисні змінні

• дві сусідні вершини, які включено до циклу, з’єднуються прямою;

• у кожній вершині циклу виконується поворот під кутом 90°;

• у будь-якому рядку чи колонці, де проходить цикл, є тільки дві вершини циклу;

• якщо позначити вершини циклу послідовно знаками "+" та "-", то кількість таких позначок має бути однаковою;

• якщо при побудові циклу є перетин прямих, то точки перетину цих прямих не будуть вершинами циклу.

Г еометрично конфігурація циклу є замкненим контуром, форма якого може бути різною, наприклад, такою, як на рис.3.1.

Рис. 3.1.

Формально цикл записують у вигляді послідовності змінних , причому перша та остання змінні в циклі однакові, тому останню не записують до циклу; дві сусідні змінні послідовності повинні завжди перебувати або в одному рядку , або в одній колонці таблиці перевезень.

У наведеному прикладі для змінної , яка не виконує умови оптимальності, цикл перерозподілу ресурсів показано у наступній таблиці:

	1	2	3
І	30	2 0		50
ІІ		20	20	40
	30	40	20

Цикл подається у вигляді ланцюга:

.

Після визначення циклу розмічаються змінні , які ввійшли до циклу, знаками „+” та „-” (ці знаки означають, що деякі змінні слід збільшити, а деякі – зменшити на величину коригування плану перевезень). Знаки „+” та „-” чергуються, починаючи зі знаку „+”. У даному прикладі .

Випадок, коли розв’язок задачі ще не оптимальний і побудувати цикл, для якого всі вершини , неможливо, називають виродженим. У цьому разі треба будувати цикл так, щоб одна (або скільки потрібно) вершина проходила через , але при цьому такі змінні в циклі мали знак розмітки "+". Такі змінні називаються фіктивними базисними.

Наприклад, для вершини , з якої неможливо побудувати цикл за певними правилами, можна використати вироджений цикл , який позначено в таблиці, наведеній нижче:

	1	2	3
І		30		30
ІІ			50	50
ІІІ	40			40
	40	30	50

Фіктивну базисну змінну називають нульовою поставкою.