100

Розділ 2

ДВОЇСТІ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

2.1. Взаємно двоїсті задачі

Двоїстість у математичному програмуванні є фундаментальним поняттям, на якому ґрунтується ряд підходів до розв’язування задач оптимізації. Наскільки важлива двоїстість свідчить той факт, що за її відкриття та застосування в оптимальному плануванні в 1975 р. Л.В.Канторович (колишній СРСР) та Т.Купманс (США) були відзначені Нобелівською премією.

Задачі лінійного програмування мають ОДР завжди у вигляді опуклої фігури. Тому ці задачі є окремим випадком задач опуклого програмування.

Кожна задача опуклого програмування, включаючи також задачі лінійного програмування, має свій аналог, який називають двоїстою або спряженою задачею.

Таким чином, практично завжди існує двоїста пара задач, одна з якої є прямою (або основною), а інша – двоїстою (або спряженою). За пряму або двоїсту задачу можна вважати будь-яку з цієї пари. Причому розв’язок однієї задачі з цієї пари дає розв’язок іншої за допомогою теорем двоїстості або останньої симплексної таблиці.

Для складання математичної моделі двоїстої задачі потрібно, щоб пряма задача мала таку структуру:

• знаки обмежень повинні мати одну спрямованість;

• якщо цільова функція прямує до мінімуму, то нерівності повинні бути типу „ ”, якщо до максимуму, то „ ”.

Таким чином, при складанні моделі двоїстої задачі пряма задача повин-

на мати модель так званої стандартної форми.

Тому, якщо система обмежень прямої задачі має мішані знаки нерівностей, то треба помножити на (-1) деякі нерівності, щоб одержати одну спрямованість знаків нерівностей, причому вони повинні бути узгоджені з напрямком цільової функції згідно із структурою стандартної форми.

Наприклад, у моделі прямої задачі

треба друге обмеження помножити на (-1).

Двоїста пара задач лінійного програмування буває двох типів:

• обмеження математичної моделі як прямої, так і двоїстої задач зображуються у вигляді нерівностей, причому змінні таких задач не повинні бути від’ємними; таку двоїсту пару задач називають симетричною (прикладом такої пари є задача на суміш);

• математична модель прямої задачі має деякі обмеження у вигляді рівнянь, а двоїста задача має всі обмеження у вигляді нерівностей, причому деякі змінні двоїстої задачі можливі і від’ємні; таку двоїсту пару задач називають несиметричною (прикладом такої пари є транспортна задача).

2.2. Алгоритм перетворення

Розглянемо процес побудови математичної моделі двоїстої задачі. Для цього потрібно дотримуватися такого алгоритму перетворення.

1. Замість змінних прямої задачі вводять змінні двоїстої задачі, які називають двоїстими оцінками або тіньовими цінами; кількість змінних дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Вільні члени обмежень прямої задачі стають коефіцієнтами у відповідних змінних цільової функції двоїстої задачі.

3. Максимум ( мінімум) цільової функції прямої задачі змінюють на мінімум (максимум) цільової функції двоїстої задачі.

4. Коефіцієнти з обмежень прямої задачі зображують у вигляді матриці , потім ця матриця транспонується, тобто переставляються рядки з колонками:

початкова матриця транспонована матриця

Наприклад:

Коефіцієнти такої матриці вводять до обмеження двоїстої задачі з відповідними змінними .

5. Коефіцієнти цільової функції прямої задачі стають вільними членами відповідних обмежень двоїстої задачі.

6. Знаки обмежень змінюються на протилежні, причому вони повинні відповідати вимогам стандартної форми як прямої, так і двоїстої задач.

Згідно з наведеним алгоритмом перетворення двоїста задача є прямою задачею, начебто повернутою на кут 90°. При цьому слід пам’ятати: кількість обмежень прямої задачі дорівнює кількості змінних двоїстої задачі та, навпаки, кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості змінних прямої задачі, тобто кожній змінній однієї задачі відповідає одне обмеження другої задачі двоїстої пари.