Случаи симметрии
1.Значительное число периодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике, удовлетворяют условию.
f(ωt)=-f(ωt+π) (5)
f(ωt)
f(ωt) (ωt+π)
π -f(ωt) ωt
2π
Рис. 15.2
Такую форму имеет кривая тока в катушке с ферромагнитным сердечником при синусоидальном напряжении (рис. 15.2).
Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который содержит четных гармоник и постоянной составляющей, так как для них не выполняется условие (5)
2.При выпрямлении переменного тока или напряжения часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат, удовлетворяет условию.
f(ωt)= f(-ωt) (6)
f(ωt)
f(-ωt) f(ωt)
-ωt ωt 2π ωt
Рис. 15.3
Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси ординат (рис. 15.3).
В этом случае ряд не содержит синусных гармоник, так как для них не выполняется условие (6)
f(ωt)=A0+C1cosωt+C2cos2ωt+C3cos3ωt+...+
3. В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию.
(7)
f(ωt)= f(-ωt) f(ωt)
-ωt
ωt ωt
f(ωt)
-f(-ωt)
Рис. 15.4
Такие функции называются симметричными относительно начала координат. Они раскладываются в ряд, не содержащий косинусных гармоник и постоянной составляющей, так как для них не выполняется условие (7) (рис. 15.4).
f(ωt)=B1sinωt+B2sin2ωt+B3sin3ωt+...
Особенности расчета линейных электрических цепей при наличии источников несинусоидальных эдс или токов
Если в линейной электрической цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС или токов, то расчет такой цепи распадается на 3 этапа.
1. Разложение ЭДС или токов источников на постоянную и синусоидальную составляющие.
При этом источник синусоидальной периодической ЭДС можно представить в виде последовательного соединения ряда источников с синусоидальными ЭДС и источника постоянной ЭДС (рис. 15.5).
Источник несинусоидального периодического тока можно представить параллельным соединением источников синусоидального тока и источника постоянного тока.
J
(t) = J0 J1 J2 Jk
Рис. 15.5
2.Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи
для каждой из составляющих в отдельности.
3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.
R L
U
(t)
C
Рис. 15.6
В качестве примера расчёта рассмотрим цепь (рис. 15.6), в которой известны.
u(t)=U0+U1msin(ωt+β1)+U2msin(2ωt+β2)+...+Ukmsin(kωt+ βk)
R, L, C.
Определим ток в схеме.
Рассмотрим 2-ой и 3-ий этапы, представляющие собой основную часть расчета цепей с периодическими несинусоидальными ЭДС и токами.
При расчете необходимо учитывать, что реактивное сопротивление индуктивности токам k-ой гармоники равно
а реактивное сопротивление ёмкости токам k-ой гармоники
1. Расчетная схема замещения для нулевой гармоники (рис. 15.7)
R
ω
= 0;
;
U
XL
= 0; XC
= ∞.
Рис. 15.7
2. Расчетная схема замещения для первой (основной) гармоники (рис. 15.8)
R
Рис. 15.8
Расчёт для каждой гармоники удобно проводить символическим методом
;
;
;
Затем необходимо перейти от комплексной амплитуды к мгновенному значению тока
i1=I1msin(ωt+a1)
3.Расчетная схема замещения для k-ой гармоники (рис. 15.9)
R
Рис. 15.9
Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n- число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот и одной задачи с постоянной ЭДС.
Окончательное решение запишем в виде
Обратим внимание на то, что запись вида
İm= İ1m+ İ2m+ İ3m+...
Является грубейшей ошибкой! так как комплексные амплитуды - это векторы, вращающиеся с различными угловыми частотами и складывать их нельзя!