7. Линейные дифференциальные уравнения n–ого порядка

Уравнение

,

где функции и непрерывны на интервале числовой оси ОХ, называется линейным дифференциальным уравнением n–ого порядка. Если на то это уравнение называется однородным.

Если – решения уравнения то также является решением уравнения т.е. .

Сумма где и функции, определенные на , называется линейной комбинацией системы функций на интервале

7.1. Линейные однородные уравнения

Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения.

Теорема. Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами является линейная комбинация решений, образующих фундаментальную систему решений

где – произвольные постоянные.

Если - постоянные числа, то уравнение принимает вид

. (17)

Будем искать частные решения в виде где - постоянное число. Учитывая, что после подстановки в уравнение (17) получим

. (18)

Так как , то из (18) следует

. (19)

Уравнение (19) называется характеристическим уравнением. Если - корень уравнения (19), то функция - это решение уравнения (17).

Из курса алгебры известно, что многочлены n–ой степени имеют ровно n корней (действительных или комплексных). Общее решение уравнения (17) строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения (19):

1. если корни характеристического уравнения действительны и различны, т.е. , то общее решение имеет вид ;

2. если корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные, например, кратности s, то общее решение имеет вид ;

3. если среди корней характеристического уравнения есть комплексно сопряженные, например, и , то общее решение имеет вид

Пример.

Составить характеристическое уравнение для дифференциального уравнения

Решение.

Если заменить производные от у степенью с показателем равным порядку производной, получаем характеристическое уравнение:

Пример.

Найти общее решение уравнения

Решение.

Составим характеристическое уравнение:

Корни уравнения: .

Общее решение данного уравнения: .

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение:

Корни уравнения:

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

Пример.

Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение:

Корни уравнения:

Общее решение исходного уравнения имеет вид:

Задачи

Найти общие решения линейных однородных дифференциальных уравнений:

15.65. ; 15.66. ;

15.67. ; 15.68. ;

15.69. ; 15.70. ;

15.71. ; 15.72. .

Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным начальным или краевым условиям:

15.73. ;

15.74. ;

15.75. ;

15.76. .

7.2. Линейные неоднородные уравнения

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:

,

определяется следующей теоремой.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

где – произвольные постоянные.

Рассмотрим два метода отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Этот метод применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения. Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

,

где функции определяются из системы уравнений

- правая часть данного уравнения.

Для уравнения второго порядка соответствующая система имеет вид

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , а потому общее решение однородного уравнения . Используем метод вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения в виде

,

где функции и находим из системы уравнений:

Решая эту систему, получаем , откуда

;

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения

.

Задачи

Решить уравнения методом вариации произвольных постоянных:

15.77. ; 15.78. ;

15.79. ; 15.80. ;

15.81. ; 15.82. .

Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том, случае, когда его правая часть имеет следующий вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь и - постоянные, и - многочлены от х соответственно n-ой и m-ой степени. Частное решение следует искать в виде:

.

Здесь r равно показателю кратности корня в характеристическом уравнении (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить ), и - многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, причем .

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , а потому общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде (в данном случае ; так как 0 не является корнем характеристического уравнения, то ). Итак,

, .

Подставим в дифференциальное уравнение:

.

Отсюда . Следовательно, общее решение исходного уравнения

.

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Найдем решение соответствующего однородного уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни , а потому общее решение однородного уравнения . Частное решение ищем в виде . Итак,

, , .

Подставим в дифференциальное уравнение:

.

Отсюда . Следовательно, общее решение исходного уравнения

.

Задачи

Решить уравнения:

15.83. ; 15.84. ;

15.85. ; 15.86. ;

15.87. ; 15.88. ;

15.89. ; 15.90. ;

15.91. ; 15.92. ;

15.93. ; 15.94. .