4.1. Уравнение Бернулли
Уравнение вида
где
называется уравнением Бернулли.
Решение этого уравнения ищем в виде
,
т.е. применяем метод подстановки.
Пример.
Решить
уравнение
Решение.
Полагая
,
приводим уравнение к виду
или 
.
Находим
из условия
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем уравнение
для
:
Интегрируя, получаем
или
Теперь учитывая, что
можем ответ записать в виде
или
.
Задачи
Решить уравнения:
15.31.
; 15.32.
;
15.33.
; 15.34.
;
15.35.
; 15.36.
.
15.37.
; 15.38.
;
15.39.
; 15.40.
;
15.41.
; 15.42.
;
15.43.
; 15.44.
.
5. Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение 1 – ого порядка вида
(14)
называется
уравнением в полных дифференциалах,
если его левая часть является полным
дифференциалом некоторой функции
т.е.
.
Для того чтобы уравнение (14) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
. (15)
Если уравнение
(14) есть уравнение в полных дифференциалах,
то оно может быть записано в виде
.
Общий интеграл этого уравнения
,
где С – произвольная постоянная.
Функция
может быть найдена следующим образом.
Интегрируя уравнение
по х при фиксированном у и
замечая, что произвольная постоянная
может зависеть от у, имеем
. (16)
Затем из
равенства
находим функцию
,
подставив которую в (16), получим функцию
.
Пример.
Решить
уравнение
Решение.
Проверим условие (15):
.
Условие (15)
выполнено. Следовательно, заданное
уравнение есть уравнение в полных
дифференциалах. Найдем функцию
.
Интегрируем по х при постоянном у
равенство
:
.
Заметим, что
при вычислении первообразной мы здесь
пишем
,
а не
,
так как исходное уравнение содержит
и, следовательно, имеет смысл лишь при
.
По условию
,
с другой стороны
.
Отсюда
,
откуда
Положив,
например,
,
находим
.
Следовательно, общий интеграл заданного
уравнения имеет вид
Задачи
Решить дифференциальные уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифференциалах:
15.45.
; 15.46.
;
15.47.
; 15.48.
;
15.49.
; 15.50.
;
15.51.
; 15.52.
.
6. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Дифференциальное уравнение n – ого порядка имеет вид
.
В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что, как правило, облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся классов уравнений, допускающих понижение порядка.
а)
.
Общее решение находится последовательным
интегрированием и записывается в виде
Пример.
Решить
уравнение
.
Решение.
Последовательно интегрируя, получаем
.
б) Уравнение не содержит искомой
функции, и ее производных до
–ого
порядка включительно
.
Порядок уравнения понижается заменой
.
Имеем
.
Пример.
Решить
уравнение
.
Решение.
Полагая
,
получим
Интегрируя это уравнение, получаем
или 
.
Откуда
;
;
;
.
в) Уравнение не содержит независимой переменной х:
.
Порядок
уравнения понижается на единицу
подстановкой
причем р необходимо рассматривать
как новую функцию относительно у,
т.е.
Все производные от функции
по х необходимо выразить через
производную от новой неизвестной функции
по у:
.
Пример.
Решить
уравнение
.
Решение.
Так как в
уравнение не входит х, положим
.
Тогда
; 
.
;
Или
– общее решение исходного уравнения,
так как решение, соответствующее случаю
1) получается из 2) при
Задачи
Решить уравнения:
15.53.
; 15.54.
;
15.55.
; 15.56.
;
15.57.
; 15.58.
;
15.59.
; 15.60.
;
15.61.
; 15.62.
;
15.63.
; 15.64.
.