2.1. Уравнения, приводящие к уравнениям с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными, а следовательно, могут быть проинтегрированы в квадратурах. К числу таких уравнений относятся уравнения вида
где
Заменой
уравнение преобразуется в уравнение с
разделяющимися переменными. Действительно,
и начальное уравнение
приводится к виду
или
.
Интегрируя, получим
Задачи
Найти общие решения уравнений:
15.19.
; 15.20.
;
1521.
; 15.22.
.
3. Однородные дифференциальные уравнения 1–го порядка
Уравнения вида
называются
однородными. С помощью подстановки
где z – новая функция,
однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно,
;
а это уравнение с разделенными переменными.
Пример.
Решить
уравнение
.
Решение.
Правая часть
уравнения есть
.
Полагая
или
,
получим
.
Подставим в исходное уравнение
.
Проинтегрируем
и получим решение:
Задачи
Найти общие решения уравнений:
15.23.
; 15.24.
;
15.25.
; 15.26.
;
15.27.
; 15.28.
;
15.29.
; 15.30.
.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением 1–ого порядка называется уравнение вида
(6)
Если
то уравнение называется линейным
однородным уравнением 1–ого порядка,
соответствующим данному неоднородному.
В линейном однородном уравнении
переменные разделяются:
Интегрируя, получаем
Интегрирование неоднородного линейного уравнения можно произвести одним из следующих методов:
Метод вариации произвольной постоянной
Будем искать решение уравнения (6) в виде
, (7)
где
искомая функция. Подставляя (7) в (6),
получаем
.
Тогда уравнение для :
. (8)
Интегрируя
уравнение (8), находим
.
В результате получаем решение уравнения (6):
.
Пример.
Найти общее
решение уравнения
.
Решение.
Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения:
.
Тогда
или
.
Получаем
где
Для нахождения решения неоднородного
уравнения будем искать решение в виде
.
Тогда
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
или
;
Следовательно, общее решение исходного уравнения:
Метод подстановки
В этом методе решение
ищется в виде произведения неизвестных
функций
и
т.е.
. (9)
Подставляя (9) в (6), получаем
. (10)
В уравнении (10) объединим слагаемые, содержащие множитель U
. (11)
Выберем
функцию
так, чтобы выполнялось равенство
. (12)
Интегрируя
уравнение (12), находим частное ненулевое
решение этого уравнения
.
Подставляя
в (11) с учетом (12), получим дифференциальное
уравнение для
:
. (13)
Если обозначить решение (13) через
то общее решение исходного уравнения
запишется в виде
Пример.
Решить уравнение методом подстановки.
Решение.
Положим
.
Вычислив производную
и подставив ее в уравнение, получим
; 
; 
.
Для нахождения
решаем уравнение
:
; 
.
Общее решение исходного уравнения запишется в виде
