Дифференциальные уравнения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется зависимость вида

(1)

где x – независимая переменная, – искомая функция, – производные искомой функции. Порядок дифференциального уравнения совпадает с наивысшим порядком производной, входящей в уравнение.

Функция , определенная в интервале называется частным решением дифференциального уравнения (1), если после замены у на на на оно обращается в тождество, т.е. .

Нахождение частных решений дифференциального уравнения называют интегрированием этого уравнения.

Функция называется общим решением дифференциального уравнения (1), если при соответствующем выборе произвольных постоянных функция обращается в любое решение этого уравнения.

Замечание. Необходимо отметить, что в учебной литературе даются другие определения общего решения. Для типов уравнений, рассматриваемых в настоящем пособии, данное определение общего решения является вполне корректным. Мы также не рассматриваем класс решений, называемых особыми, которые не могут быть получены из общего решения ни при каких конкретных значениях постоянных .

2. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения вида

, (2)

где множитель при является функцией только от у, а множитель при является функцией только от х, называются дифференциальными уравнениями с разделенными переменными. Функции и предполагаются непрерывными. Интегрируя левую часть уравнения (2) по у, а правую по х, будем иметь:

(3)

где С – произвольная постоянная.

Уравнение (3) является общим интегралом уравнения (2).

Пример.

Решить дифференциальное уравнение .

Решение.

Переменные разделены. Интегрируя, получим общий интеграл

Отсюда или

Задачи

Решить уравнения.

15.1. ; 15.2. ;

15.3. ; 15.4. ;

15.5. ; 15.6. ;

15.7. ; 15.8. .

Уравнение вида

, (4)

в которых выражения при и распадаются на множители, зависящие только от х или только от у, называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделив левую и правую части уравнения (4) на , получим уравнение с разделенными переменными:

(5)

Решение уравнения (5) записываются в квадратурах

.

При делении на произведение могут быть потеряны некоторые интегральные кривые где – действительный корень уравнения – действительный корень уравнения . Поэтому необходимо проверить, входят ли в общее решение указанные частные решения. Если входят, то потери решений нет, если не входят, то их следует учесть дополнительно.

Пример.

Решить уравнение .

Решение.

Разделим левую и правую части уравнения на ху и получим уравнение с разделенными переменными:

Интегрируя полученное уравнение с разделенными переменными, получим

, или , или

Уравнение равносильно уравнению или где .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что при делении на у потеряно решение . Если считать, что принимает и значение, равное 0, его можно включить в общее решение

При решении в данном случае постоянную удобно взять в виде такой выбор не ограничивает произвольности постоянной. Также можно установить, что потеряно решение Окончательно, ответ можно записать так:

Задачи

Найти общие решения уравнений:

15.9. ; 15.10. ;

1511. ; 15.12. ;

15.13. ; 15.14. ;

15.15. ; 15.16. ;

15.17. ; 15.18. .