4.3 Аналитический метод.

Аналитическое исследование плоских механизмов удобнее всего вести методом векторных контуров, разработанных В.А. Зиновьевым.

В соответствии с этим методом нахождение кинематических характеристик механизма производится в следующем порядке:

1) Чертим в любом промежуточном положении структурную схему механизма.

2) Выбираем систему координат. (начало обычно связывают со стойкой начального звена).

3) Все звенья механизма, включая и стойку, заменяют векторами произвольного направления.

4) Полученные векторы объединяют между собой так, чтобы они образовывали замкнутые контуры. В каждый контур должно входить не более двух неизвестных величин.

5)Составляем векторные уравнения замкнутости полученных контуров в соответствии с выбранным направлением обхода.

Рис. 4.3

Спроектировав эти уравнения на оси координат, получим базовые системы уравнений для расчета кинематических характеристик звеньев В качестве примера рассмотрим расчет центрального кривошипноползунного механизма Рис 4.3.

Ползун В перемещается за время одного полного поворота кривошипа ОА из высшего положения (ВПП) в низшее положение (НПП) и обратно. Ход ползуна от ВПП обозначен через S. Обозначив звенья механизма векторами ОА, АВ и ОВ, как показано на Рис 4.3, и задаваясь направлением обхода, составим уравнение замкнутости векторного контура ОАВ.

(4.6)

Где r и l радиус кривошипа и длина шатуна соответственно.

Выбрав оси координат x и y, спроектируем это уравнение:

x: (4.7)

y: (4.8)

где неизвестными будут величина y и угол .

Из треугольника ОАВ, по теореме синусов, получим:

,

Тогда

.

Подставляя это выражение в (4.8) получим

Перемещение ползуна будет

Обозначая и раскладывая корень в степенной ряд по , ограничиваясь первыми двумя членами разложения, можно получить

(4.9)

Скорость точки В найдем беря производную по времени от выражения для перемещения (4.9).

Или

(4.10)

Для нахождения ускорения точки В возьмем производную от (4.10).

(4.11)

Таким образом, применение аналитических методов анализа (синтеза) плоских механизмов позволяет выводить аналитические зависимости кинематических параметров звеньев и характерных точек механизма.

4.4 Аналоги скоростей и ускорений

Как видно из выражений (4.9, 4.10, 4.11) кинематические параметры ведомого звена зависят от скорости ведущего. Для удобства анализа работы механизма скорости и ускорения ведомых звеньев удобно выражать в функции обобщенных координат ведущего звена, в качестве которых выбираются либо угол поворота , либо перемещение S ведущего звена.

Так как угол поворота к-го звена является функцией от угла ведущего звена, то откуда

(4.12)

Где - угловая скорость ведущего звена,

-безразмерная угловая скорость к-го ведомого звена, которую называют аналогом угловой скорости.

Для углового ускорения, рассуждая аналогично, можно получить:

,

Или

откуда (4.13)

Где - безразмерная величина – аналог углового ускорения ведомого звена.

Для линейных величин скоростей и ускорений ( и ) ведомого звена можно аналогично получить:

(4.14)

и

(4.15)

Где - величина – аналог скорости к-го звена,

-аналог ускорения.

При этом величины-аналоги скорости и ускорения имеют размерность (м).

Так как аналоги скоростей и ускорений зависят только от обобщенных координат и не зависят от времени кинематическое исследование механизма можно вести чисто геометрическим методом.

Для рассмотренного выше примера расчета КПМ аналогами скорости и ускорения ползуна, как следует из выражений (4.10 и 4.11), очевидно будут:

(4.16)

и

(4.17)

Произвольное движение механизма, как было предложено Н.Е.Жуковским, может быть представлено в виде суммы перманентного или основного движении, при котором скорость ведущего звена постоянна ( ) и начального движения для которого ( ). Тогда:

Для перманентного движения получим:

(4.18)

.

Для начального движения:

(4.19)

.

Таким образом, истинное движение к-го звена механизма будет:

(4.20)

.

Представление движения механизма состоящим из перманентного и начального позволяет определять положения, скорости и ускорения звеньев в функции обобщенных координат, а не в функции времени. Истинный закон изменения обобщенных координат от времени может быть определен только после динамического исследования механизма.