5.5 Параметрическое уравнение эвольвенты
Для вывода уравнения эвольвенты окружности рассмотрим Рис 5.4. На этом рисунке обозначим:
-
угол
развернутости,
- угол
профиля,
- инвалютный
(эвольвентный)
угол.
Рис. 5.4
В полярных
координатах положение произвольной
точки В эвольвенты будет определяться
радиусом r
и
полярным углом
.
Как видно из Рис 5.4
С другой стороны
дуга
Откуда 
.
Тогда эвольвентный угол будет
(5.4)
Из треугольника ОВМ
(5.5)
Как видно из
уравнений (5.4) и (5.5) эвольвента окружности
будет определяться радиусом основной
окружности
(параметром), поэтому эти уравнения
называются параметрическим
и уравнениями эвольвенты.
5.6 Свойства эвольвентного зацепления
Рассмотрим
зацепление двух эвольвентных профилей
и
Рис
5.5, построенных на основных окружностях
с радиусами
и
соответственно.
Рис. 5.5
Они касаются, друг
друга в точке С. Нормаль N-N к профилям
проведенная в точке касания по свойству
эвольвенты будет являться касательной
к основным окружностям в точках
и
.
При повороте колес точка соприкосновения
профилей сместится в точку
,
которая так же будет лежать на прямой
N-N. Следовательно, в любом положении
двух зацепляющихся эвольвент их общая
нормаль занимает не изменное положение,
что обеспечивает постоянное положение
полюса зацепления (точку
).
При этом, в соответствии с основным
законом зацепления,
Таким образом, эвольвентное зацепление обеспечивает постоянное передаточное отношение.
Точка контакта
(С) перемещается по линии
(линии
зацепления),
лежащей на нормали N-N. Таким образом,
угол
- угол
зацепления для
эвольвентного зацепления остается
постоянным и давление одного профиля
на другой, передаваемое по нормали N-N,
сохраняет постоянное направление.
На величину передаточного отношения не влияют ни угол зацепления, ни межцентровое расстояние так как:
Откуда
,
То есть передаточное
отношение зависит только от радиусов
основных окружностей. Поэтому изменение
межцентрового расстояния
при изготовлении колес и сборке не
влияет на передаточное отношение.
5.7 Коэффициент скольжения зубьев
В процессе контакта
сопряженные профили обкатываются друг
по другу со скольжением. Скорость
скольжения является одним из главных
факторов, определяющих износ профилей.
Рассмотрим два сопряженных профиля
и
(Рис
5.6), контактирующих между собой в точке
С. Скорости этих профилей в точке контакта
будут:
и
Проекции этих
скоростей на касательную
к профилям в точке контакта будут
соответственно
и
.
Как видно из Рис 5.6, эти проекции не равны
между собой, поэтому при передаче
вращения профиля будут скользить друг
относительно друга с относительной
скоростью
.
Рис. 5.6
Величина этой скорости, как известно из теоретической механики, будет
,
Где
- относительная угловая скорость,
- расстояние точки
контакта С до мгновенного центра вращения
(точки
).
Для оценки величины скольжения используется коэффициент скольжения равный отношению скорости скольжения к тангенциальной составляющей скорости профиля в точке контакта.
и
.
Как видно из Рис. 5.6
и
.
Из треугольников
и
получим:
и
.
Учитывая, что по
свойствам эвольвенты
и
,
где величины
и
- радиусы кривизны профилей в точке
контакта, получим:
и
.
Тогда величины коэффициентов скольжения будут:
и
.
При расчете
коэффициентов скольжения надо иметь в
виду, что если колеса 1 и 2 имеют разное
число зубьев, то зубья большего колеса
входят в зацепление в
раз меньше. Следовательно, их износ
будет меньше. Для учета этой неравномерности
необходимо ввести корректировку в
коэффициенты скольжения. Для этого
коэффициент скольжения колеса с большим
числом зубьев делят на передаточное
отношение. Например, если колесо 2 больше
чем 1, то скорректированные коэффициенты
будут:
и
(5.6)
Для внутреннего зацепления
И соответственно
и
(5.7)
Из формул (5.6) и
(5.7) следует, что коэффициенты скольжения
увеличиваются с увеличением расстояния
точки контакта до полюса (
)
и с уменьшением радиусов кривизны
профилей (
и
).
В крайних точках
и
радиусы кривизны будут равны нулю а
коэффициенты скольжения будут стремиться
к бесконечности (Рис 5.7а и 5.7б).
Из сравнения (5.6) и (5.7) видно, что при одном и том же передаточном отношении коэффициенты скольжения для внутреннего зацепления будут меньше чем для внешнего. Для уменьшения потерь на скольжение профилей и снижение их износа практическая линия зацепления (а-б) должна располагаться в зоне относительно малых коэффициентов скольжения как показано на Рис 5.7.
Рис. 5.7