I. Прямой ход метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений . Подвергнем расширенную матрицу этой системы элементарным преобразованиям только над строками так, чтобы матрица этой системы превратилась

в трапециевидную: .

Матрица трапециевидная, и её ранг по лемме 1 §10 равен числу ненулевых диагональных элементов, т.е. . Следовательно, , т.к. .

1) Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля (например ), то , т.к. в матрице есть минор порядка , отличный от нуля. Это минор, стоящий в столбцах с номерами и в строках с номерами :

, если .

Все миноры более высокого порядка, чем матрицы равны нулю, т.к. или содержат нулевую строку, или две пропорциональные строки. Следовательно, в этом случае , поскольку . Таким образом, , и, следовательно, система несовместна по теореме Кронекера-Капелли.

Можно несовместность системы объяснить иначе. Эта система несовместна, т.к. несовместна равносильная ей система . Действительно, -е уравнение этой системы имеет вид:

, причём . Очевидно, никакой набор чисел не может удовлетворять такому уравнению.

2. Пусть теперь все числа равны нулю. В этом случае матрица трапециевидная, и её ранг равен числу ненулевых диагональных элементов, т.е. . Следовательно, , т.к. . Таким образом, , и система по теореме Кронекера-Капелли совместна.

II. Обратный ход метода Гаусса.

По следствию к теореме 2 §11 матрицу с помощью элементарных преобразований только над строками можно преобразовать к виду:

.

Выпишем систему линейных алгебраических уравнений , равносильную системам и .

Здесь могут представиться следующие случаи:

1. Если , то по следствию 1 к теореме 2 система имеет единственное решение. В этом случае матрица принимает вид: , и система в развёрнутом виде может быть записана так: . В этом случае столбец - единственное решение каждой из систем .

2. Если , то по следствию 2 к теореме 2 система имеет бесчисленное множество решений. Найдём общее решение этой системы. В этом случае матрица имеет вид:

. и система в развёрнутом виде может быть

записана так: (6)

Положим и подставим эти значения в систему (6). В результате получим:

. Очевидно, столбец

удовлетворяет системе (6), т.е. системе , следовательно, и системе . Таким образом, нашли такой столбец, что любое решение системы получается из него при некоторых значениях параметров

, т.е. общее решение этой системы.

Замечание. Неизвестные, которым можно придавать произвольные значения, будем называть свободными, остальные – зависимыми. Если , то число свободных неизвестных равно .

Пример 1. Решим систему линейных алгебраических уравнений

(7) . Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем её элементарным преобразованиям над строками так, чтобы - матрица этой системы превратилась в трапециевидную.

Заметим, что сделав первый шаг мы исключили из всех уравнений системы, кроме первого. Сделав второй шаг - исключили из третьего и четвёртого уравнений.

Таким образом, мы получили трапециевидные матрицы и . По лемме 1§10 , т.к. число ненулевых диагональных элементов этих матриц равно 3. Отсюда получаем: по теореме 1 §11, т.к. и . Следовательно, эта система совместна (по теореме Кронекера-Капелли)

и имеет бесчисленное множество решений. Найдём общее решение этой системы. Для этого воспользуемся следствием к теореме 2 §11.

. Запишем систему в развёрнутом виде:

(8) . Базисный минор матрицы стоит в первых трёх столбцах. Поэтому свободными неизвестными являются и . Положим . Тогда из равенств (8) получаем: , т.е. общее решение в скалярной форме, или

- общее решение в матричной или векторной форме, где параметры и могут принимать произвольные значения.

На примере этой системы проиллюстрируем понятие фундаментальной системы решений для однородной системы линейных алгебраических уравнений. Для этого найдём фундаментальную систему решений соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Запишем общее решение следующим образом:

, где . Столбец получается из общего решения при , т.е. это частное решение системы (7). Покажем, что столбцы и являются решениями соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений

(9)

Действительно, столбцы и также являются решениями системы (7), т.к. получается из общего решения при , и при . Следовательно, по теореме 2 §2 столбцы и являются решениями соответствующей системы линейных однородных алгебраических уравнений (9). Покажем, что столбцы и образуют фундаментальную систему решений системы (9). Для этого осталось лишь доказать, что совокупность , линейно независимая, т.к. количество этих столбцов- решений равно .

Составим из этих столбцов матрицу и вычислим её ранг: , т.к. минор 2-го порядка этой матрицы , стоящий в двух последних строках не равен нулю, а миноров более высокого порядка у этой матрицы нет. Следовательно, по следствию 2 к теореме 7§13 столбцы и линейно независимые. Поэтому по определению 1§1 столбцы и образуют фундаментальную систему решений системы (9).

Теперь на примере матрицы этой системы и расширенной матрицы этой системы проиллюстрируем теорему 7§13.

Базисный минор матрицы этой системы и расширенной матрицы этой системы стоит в первых трёх столбцах и в первых трёх строках. Следовательно, столбцы являются базисными столбцами и матрицы , и расширенной матрицы , а остальные являются их линейными комбинациями. Покажем, как найти коэффициенты этих линейных комбинаций. Пусть

(10)

Выпишем расширенную матрицу это системы: . Эта матрица есть часть матрицы . Следовательно, используя те же самые элементарные преобразования над строками, мы получим:

. Таким образом, решив систему (7), мы уже в неявном виде нашли разложения для всех небазисных столбцов матриц и . Напишем эти разложения: .

Базисными строками матрицы являются первые три строки, т.е. , четвёртая – небазисная, и, следовательно, является их линейной комбинацией. Чтобы найти коэффициенты этой линейной комбинации можно составить систему линейных алгебраических уравнений аналогично тому, как это было сделано ранее для столбца , но можно использовать и предыдущие вычисления.

Запишем матрицу , используя условные обозначения, и проделаем часть тех же самых элементарных преобразований:

.

После третьего шага в последней строке мы получили нулевую строку. С другой стороны, эта строка равна

, т. е. и, следовательно, .

Базисными строками расширенной матрицы системы являются первые три строки , а четвёртая – небазисная, и, следовательно, является их линейной комбинацией. Чтобы найти коэффициенты этой линейной комбинации поступим аналогично тому, как это было сделано ранее, и получим:

Пример 2. Решим систему линейных алгебраических уравнений

(11) . Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем её элементарным преобразованиям над строками так, чтобы - матрица этой системы превратилась в трапециевидную.

.

Матрица - трапециевидная, и её ранг равен 2. Следовательно, , т.к. . Ранг матрицы равен 3, т.к. минор третьего порядка этой матрицы не равен нулю, а миноров более высокого порядка не существует. Следовательно, , т.к. . Таким образом, и, следовательно, система (11) несовместна по теореме Кронекера-Капелли.

Пример 3. Решим систему линейных алгебраических уравнений

(12) . Выпишем расширенную матрицу этой системы и подвергнем её элементарным преобразованиям так, чтобы - матрица этой системы превратилась в трапециевидную.

Матрицы и трапециевидные и . Следовательно, , т.к. и . Таким образом, система (12) совместна по теореме Кронекера-Капелли . Она имеет бесчисленное множество решений, т.к. .

Отметим, что нам пришлось менять местами столбцы матрицы, т.к. базисный минор матрицы стоит в столбцах с номерами 1, 3 и 4.

Найдём общее решение этой системы. Для этого воспользуемся следствием к теореме 2 §11.

Запишем систему в развёрнутом виде:

(13)

Первый столбец матрицы соответствует , второй - , третий - , четвёртый - . Поэтому свободной неизвестной является . Положим . Тогда из равенств (13) получаем: , т.е. общее решение в скалярной форме, или

- общее решение в матричной или векторной форме, где параметр может принимать любые значения.

Пример 4. Рассмотрим две квадратные системы линейных алгебраических уравнений, которые различаются лишь столбцом свободных членов:

(14) и (15).

Решим их методом Гаусса, используя матричную форму записи решения:

Таким образом, столбец - решение системы (14), а столбец - решение системы (15).

Очевидно, эти две системы можно было решать одновременно, что мы и рассмотрим в следующем примере.

Пример 5. Пусть дано матричное уравнение , где . Это уравнение имеет единственное решение , т.к. . Найдём это решение методом Гаусса. Из определения умножения матриц следует, что матрица квадратная порядка 2. Пусть , где и - столбцы этой матрицы. Из определения умножения матриц следует, что , где .

Очевидно, (14) (15).

Следовательно, столбцы и - решения систем (14) и (15)соответственно. Таким образом, чтобы решить матричное уравнение , записываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований только над строками преобразуем матрицу в единичную. Это возможно по следствию к теореме 2 §11, т.к. . Та матрица, которая получится справа от черты, и есть решение данного матричного уравнения.

,

т.е. .

Решение матричного уравнения для случая, когда матрица коэффициентов квадратная неособенная.

Алгоритм, описанный для решения матричного уравнения из примера 5, очевидным образом обобщается на случай произвольного матричного уравнения с квадратной неособенной матрицей .

Записываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований только над строками преобразуем матрицу в единичную. Это возможно по следствию к теореме 2 §11, т.к. . Та матрица, которая получится справа от черты, и есть решение данного матричного уравнения: .

Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

По определению матрица есть обратная к квадратной неособенной матрице , если справедливо равенство . Равенство следует из предыдущего. (Почему?)

Таким образом, чтобы найти матрицу, обратную к матрице , мы должны решить матричное уравнение .

В соответствии с описанным выше алгоритмом записываем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований только над строками преобразуем матрицу в единичную. Это возможно по следствию к теореме 2 §11, т.к. . Та матрица, которая получится справа от черты, и есть решение данного матричного уравнения, т.е. обратная матрица : .

Пример 6. Найдём методом Гаусса матрицу, обратную к матрице .

Составим расширенную матрицу . С помощью элементарных преобразований только над строками преобразуем матрицу в единичную:

Следовательно, .

23