Глава iy. Системы линейных алгебраических уравнений.

§1 Системы линейных однородных алгебраических уравнений.

В этом параграфе будем изучать системы линейных однородных алгебраических уравнений, т.е. системы вида:

.

Напомним, что система (1) в матричном виде может быть записана так: , где

- матрица системы (1), R . Если R , то , т.е. система (1) всегда имеет нулевое или тривиальное решение. Нас будет интересовать вопрос: в каком случае система (1) имеет только тривиальное решение, а в каком - ещё и нетривиальное решение, и как устроены эти нетривиальные решения.

Напомним, что обозначает -ый столбец матрицы , т.е. .

Рассмотрим столбец . Следовательно, систему линейных однородных алгебраических уравнений (1) можно записать так: (2)

Теорема 1. Критерий существования нетривиального решения системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Для того чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (1) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных, т.е. .

Доказательство. Необходимость. Пусть - решение системы (1)

. Следовательно, совокупность столбцов линейно зависимая, т.к. не все числа равны нулю. Таким образом, по следствию 2 к теореме 7 §12 получаем: , и необходимость доказана.

Достаточность. Пусть , и пусть - базисные столбцы матрицы . Тогда по теореме 7 столбец равен линейной комбинации базисных столбцов, т.е.

, причём

Следовательно, столбец - ненулевое решение системы (1), т.к. этот столбец удовлетворяет равенству (2), и теорема доказана.

Следствие 1. Для того чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (1) имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен числу неизвестных, т.е. .

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) имеет только нулевое решение. Если неверно равенство , то , и по теореме 1 эта система имеет ненулевое решение, что противоречит условию.

Достаточность. Пусть . Если неверно, что эта система имеет только нулевое решение, то она имеет ещё и ненулевое решение. Тогда по теореме 1 справедливо неравенство , что противоречит условию, и следствие доказано.

Следствие 2. Если число уравнений системы линейных однородных алгебраических уравнений меньше числа неизвестных , то эта система имеет нетривиальное решение.

Доказательство. Действительно, в этом случае , т.е. , и по теореме 1 система (1) имеет нетривиальное решение.

Теорема 2. Критерий существования нетривиального решения для квадратной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

Для того чтобы квадратная система линейных однородных алгебраических уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю, т.е. .

Доказательство. Система (1) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда (по теореме 1).

По следствию 2 к теореме 7 §12 это равносильно тому, что столбцы матрицы линейно зависимы, а по следствию 4 к теореме 7 §12 это равносильно тому, что .

Следствие. Для того чтобы квадратная система линейных однородных алгебраических уравнений (1) имела только нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы не был равен нулю, т.е. .

Доказательство. Система (1) имеет только нулевое решение тогда и только тогда, когда (следствие 1к теореме 1). Это утверждение равносильно тому, что единственный минор –го порядка матрицы , т.е. .

Лемма. Любая линейная комбинация решений системы линейных однородных алгебраических уравнений также является решением этой системы.

Доказательство. Пусть R - решения системы , т.е. R.

Покажем, что линейная комбинация также является решением системы (1).

, т.е. является решением системы (1). Лемма доказана.

Определение 1. Пусть дана система линейных однородных алгебраических уравнений , и пусть ранг матрицы системы меньше - числа неизвестных, т.е. . Линейно независимую совокупность, содержащую решений этой системы, будем называть фундаментальной системой решений системы (1).

Определение 2. Общим решением системы линейных алгебраических уравнений от неизвестных будем называть такой столбец высоты , зависящий от параметров, что любое решение этой системы получается из него при некоторых значениях параметров. Решение, которое получается из общего при некоторых конкретных значениях параметров, называют частным решением этой системы.

Теорема 3. Пусть дана система линейных однородных алгебраических уравнений , и пусть ранг матрицы системы меньше - числа неизвестных, т.е. . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. для такой системы существует фундаментальная система решений;

2. любое решение этой системы является линейной комбинацией элементов её произвольной фундаментальной системы решений.

Доказательство. Пусть , где матрица , и пусть её базисный минор стоит в первых строках и первых столбцах, т.е. . Таким образом, базисными столбцами матрицы . являются столбцы . Тогда по теореме 7 §12 любой столбец , где , равен линейной комбинации базисных столбцов, т.е.

, причём

Следовательно, столбец - ненулевое решение системы (1). Здесь . Заметим, что число (-1) в столбце стоит в -ой строке. Таким образом, получили набор ненулевых решений системы (1): .

1) Покажем, что совокупность является фундаментальной системой решений. Уже доказано, что эти столбцы являются решениями системы (1). Очевидно, их число равно . Осталось доказать, что совокупность

линейно независимая. Для этого рассмотрим матрицу из них составленную: . Ранг матрицы равен числу

столбцов этой матрицы, т.е. , т.к. минор этой матрицы порядка ,стоящий в последних строках,

, а миноров более высокого порядка у матрицы не существует.

Следовательно, совокупность линейно независимая по следствию 1 к теореме 7 §12, и, таким образом, является фундаментальной системой решений для (1).

2) Теперь докажем, что любое решение этой системы является линейной комбинацией столбцов .

Пусть - решение этой системы. Докажем, что .

Действительно,

Здесь , . По лемме столбец есть решение системы (1), т.е.

. Таким образом, столбец является решением квадратной системы линейных однородных алгебраических уравнений, определитель которой . Такая система имеет только нулевое решение, например, по следствию к теореме 2. Следовательно, , и

, откуда следует, что

. Таким образом, доказали, что любое решение этой системы является линейной комбинацией элементов фундаментальной с истемы решений .

3. Наконец, докажем, что любое решение этой системы является линейной комбинацией элементов её произвольной фундаментальной системы решений . Из доказанного в пункте 2) следует, что

ЛК ( ), а также ЛК ( ), т.к. и , и - решения системы (1) для любого такого, что . Совокупность линейно независимая как фундаментальная система решений.

Совокупность линейно зависимая по теореме 6 §12, т.к. каждый из столбцов этой совокупности есть линейная комбинация столбцов , и количество этих столбцов больше числа комбинируемых . Следовательно, по теореме 5 §12 столбец = ЛК ( ). Теорема полностью доказана.

Следствие 1. Если , то система (1) имеет бесчисленное множество решений.

Доказательство. Пусть - фундаментальная система решений для системы (1).

Если , то и , т.к. в противном случае имели бы: , причём не все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю, т.к. . Это означало бы, что совокупность линейно зависимая, что противоречит тому, что она является фундаментальной системой решений для системы (1). Коэффициенты могут принимать бесчисленное множество значений. Следовательно, столбцов , являющихся решениями системы (1), также существует бесчисленное множество.

Следствие 2. Если - фундаментальная система решений для системы (1), то общее решение этой системы имеет вид: .

Доказательство. Действительно, как было доказано в теореме, любое решение системы (1) является линейной комбинацией элементов её произвольной фундаментальной системы решений.