1.3. Статистические измерительные шкалы.

Любые наблюдаемые явления представляют собой эмпирическое множество фактов, с которыми напрямую, порой, не удается провести никаких операций (макрокосм, микромир и так далее). Тем не менее, при попытке начала операции измерения можно определить существование двух и только двух, видов отношений на этом множестве.

Первый вид: эквивалентность - J.

Второй вид: предпочтение -П.

Для возможности измерений, чем занимается теория планирования эксперимента, необходимо перейти к числовому множеству, отражающему эмпирическое множество в виде чисел и отношений в числовом множестве, тогда эквивалентности в эмпирическом множестве будет соответствовать равенство или тождество в числовом множестве; а предпочтению в эмпирическом множестве отношения больше или меньше в числовом.

Таким образом мы имеем два множества: эмпирическое- Э, с отношениями на нем и числовое - N, с отношениями на нем. Причем, каждому элементу эмпирического множества Э_i (i =1,…N) соответствует элемент числового множества Ч_i (i= 1,…N).

Теперь необходимо найти функцию f(x):- гомоморфную, работающую в одном направлении или изоморфную, работающую в обеих направлениях, переводящую члены одного множества в другое.

Таким образом, упорядоченное статистическое множество (кортеж), состоящий из трех членов: эмпирического множества Э, числового множества N, функции f(x), называется статистической измерительной шкалой. В квалиметрии этот кортеж носит название квалиметрической или измерительной шкалы.

Примерное представление об элементах статистической измерительной шкалы представлено на рис.1.4.

Рис.1.4. Представление о статистической шкале

Следует отметить, что, привычная всем шкала любого измерительного прибора не является статистической измерительной шкалой, а представляет собой числовое отображение функции f(x).

Мир шкал велик, существуют различные классы шкал, в том числе и многомерные шкалы, шкалы для различных топологических пространств и структур, рассмотрение которых не входит в круг задач пособия.

Далее рассмотрим основные виды шкал, применяемых в стандартных измерениях. Единственное, что нужно понять и запомнить: любое измерение осуществляется в какой – либо шкале! Причем выбор шкалы влияет на правильность измерений.

Так же как выпуск денежной массы, не обеспеченной товарами, приводит к инфляции и последующей девальвации денежной единицы, также и неверный выбор шкалы обесценивает процесс измерения в ходе эксперимента.

А) Шкала эквивалентности - ШЭ

Данная шкала в разных литературных источниках может носить разное название, имея при этом, одинаковый смысл: шкала - номинальная, порядка, эквивалентности, классификационная, наименований, (два последних названия представляются не корректными, что будет видно из дальнейшего изложения), толерантная.

Разберемся с логической основой шкалы эквивалентности. Пусть, проводится такое измерение, когда каждому объекту может быть приписано любое значение, но обязательно каждому несхожему объекту свое конкретное значение, что соответствует использованию любой монотонной функции. Набор объектов, имеющих одинаковые значения, приводит к шкале эквивалентности. Например, при выпуске продукции, часть ее бракуется, образуя подмножество Т, эквивалентное в заданном нами смысле, где t₁, t₂,… T. Виды брака могут быть разными, но они едины с позиций контролера. Подобная ситуация представлена на рис.1.5. На рисунке для наглядности и возможности сравнения приведены все типы рассматриваемых в пособии шкал.

Рис.1.5. Смысл статистических шкал

Шкала эквивалентности может быть разделена на две подшкалы:

а) подшкала наименований, – все полученное подмножество Т, со свойственными ему аксиомами, которые кратко представлены ниже:

1. Если t  T, а t J t , то получаем свойство изоморфности, когда любой элемент равен сам себе.

2. Если t₁, t₂  T, а t₁ J t₂, то и t₂ J t₁ , то получаем свойство симметрии.

3. Если t₁,t₂,t₃ T, а t₁ J t₂ и t₂ J t₃, то t₁ J t₃ , то получаем известное из школьной математики свойство транзитивности,- когда два элемента порознь равны третьему, то они равны между собой.

б) подшкала классификаций. Разделим Т (полученное подмножество) на классификационный показатель J, частное Т/J создает непересекающиеся области в Т, имеющие одинаковый показатель эквивалентности.

На рис.1.5 А) подмножество брака - Т, может содержать разные виды брака. Например, при контроле качества на телевизионном производстве это может быть: скол на фанеровке, несведенные лучи, трещина на кинескопе и т.п. Все эти дефекты эквивалентны по одному признаку - невозможности поставки в торговую сеть из-за обнаруженных несоответствий ТУ. Второй пример, участники первенства премьер - лиги России по футболу (в начале сезона) разделены на команды, имеющие разные цвета на футболках, но их объединяет единый признак эквивалентности - участие в первенстве России.

Логику измерений по шкале эквивалентности можно отразить следующим образом:

Q_i = Q_зад или Q_i Q_зад , 1.7

где: Q_i - характеристика измеряемого объекта,

Q_зад- требования ТУ или иных документов.

Отметим, что подмножество Т не вводит никаких числовых значений и не определяется никакими параметрами. Поэтому ШЭ относится к разряду непараметрических шкал.

Б). Шкала предпочтения - ШП

Данная шкала (рис. 1.5Б), также имеет разные названия, сохраняя единый смысл (шкала порядка, рангов, предпочтений). При измерениях по этой шкале используется главный принцип квалиметрии - принцип попарного сопоставления.

Логику измерений по шкале предпочтения можно записать в виде:

Q_i ‹ или › Q _j , 1.8

где: Q_i - характеристика измеряемого объекта,

Q _j - характеристика другого объекта из сравниваемого подмножества j = 1,2,…n.

Полученное подмножество Т можно разложить по оси качества либо по признаку возрастающего предпочтения Q₁ › Q₂ › Q₃…,либо по признаку убывающего предпочтения Q₁ ‹ Q₂ ‹ Q₃…. Выбор порядка предпочтения зависит от целей исследования.

В нашем примере с телевизионным контролем за признак предпочтения можно выбрать простоту устранения дефекта, создав ряд: устранение скола фанеровки, сведение лучей, замена кинескопа. При выборе из ряда аналогичных приборов, для установки одного из них на борт самолета, можно избежать точного определения веса, просто попарно сопоставляя приборы на рычажных весах. И когда масса m_i какого-то из них оказывается меньшей, то, естественно, что именно он будет выбран для летательного аппарата. Напомним, что количество топлива увеличивается в пропорции 10 литров на 1 кг аппаратуры для самолета и 100 литров на 1 кг для ракеты.

Аксиоматика шкал предпочтения усложняется незначительно.

1.Если t₁,t₂  T , а t₁ J t₂, то либо t₁ П t₂, либо t₂ П t₁ , и тогда получаем свойство связности.

2. Если t₁ ,t₂  T , а t₁ П t₂, то t₂ t₁ и тогда получаем свойство асимметрии.

3. Если t₁,t₂,t₃ T, а t₁ П t₂ и при этом t₂ П t₃, то t₁ П t₃ и тогда получается известное уже свойство транзитивности.

Расстановка объектов в порядке убывания или возрастания их показателей называется ранжированием и при этой процедуре используется, как это было отмечено выше, принцип попарного сопоставления. Психологи утверждают, что такой принцип лежит в основе любого выбора, то есть сравнивать размеры попарно всегда проще, чем сразу определить их место на шкале предпочтения.

Пример. Необходимо определить результаты оценивания трех образцов продукции тремя экспертами при условии, что 1 оценивает предпочтение, а 0 означает, что характеристики образца хуже. Результаты сведены в таблицу 1.3.

Т аблица 1.3. Пример ранжирования

i i	1	2	3	
1	---	1	0	1
2	0	---	0	0
3	1	1	---	2

Результат оценки

Q₃ > Q₁ > Q₂.

Для облегчения измерения по шкале предпочтения (порядка) некоторые точки на ней можно закрепить в качестве опорных (реперных). Студенческие знания оцениваются по этой шкале, а сами цифры носят название баллов.

В качестве примеров рассмотрим таблицу интенсивности землетрясений по 12-ти балльной шкале MSK – 64 (не путать с 7-ми балльной шкалой Рихтера) - табл.1.4 и 10-ти балльную таблицу твердости минералов по шкале Роквелла -табл. 1.5.

По шкале предпочтения сравниваются размеры, которые сами остаются неизвестными. Ранжированный ряд может быть получен в результате опытов, расчетов или их комбинации, в результате сравнения принимается решение какой размер больше, меньше или равен. При использовании корректной модели – решение правильно. Например, при сравнении площадь круга и вписанного и описанного треугольников.

Таблица 1.4. Интенсивность землетрясений

Балл	Название землетрясения	Характеристика
1.	Незаметное	Только приборы.
2.	Очень слабое	Некоторые люди в состоянии покоя.
3.	Слабое	Небольшая часть населения.
4.	Умеренное	Дребезжание стекол, скрип дверей и стен.
5.	Довольно сильное	Сотрясание зданий, трещины стекол и штукатурки.
6.	Сильное	Ощущается всеми, предметы падают со стен и мебели, легкое повреждение зданий.
7.	Очень сильное	Трещины в домах, разрушение легких построек.
8.	Разрушительное	Трещины на земле, памятники двигаются, дома повреждаются.
9.	Опустошительное	Разрушение домов.
10.	Уничтожающее	Крупные трещины в почве, оползни и обвалы, разрушение зданий, искривление рельсов.
11.	Катастрофа	Полное разрушение зданий, широкие трещины.
12.	Сильная катастрофа	Изменение русла рек, водопады, ни одно здание не выдерживает.

В отличие от теоретического сравнения экспериментальное сравнение является случайным, то есть решение может быть правильным или неправильным. На правильность решения оказывает влияние наличие помех. Отметим, что помехи могут быть как аддитивными, так и мультипликативными. Помеха измерению является предметом самостоятельного изучения, большинство измерений связано с введением поправки корректирующей ошибку, вызванную помехой.

Таблица 1.5. Шкала твердости минералов

Балл	Твердость
0	Меньше твердости талька;
1	Больше твердости талька, но меньше твердости гипса;
2	Больше твердости гипса, но меньше известкового шпата;
3	Больше известкового шпата, но меньше плавикового шпата;
4	Больше твердости плавикового шпата, но меньше апатита;
5	Больше твердости апатита, но меньше полевого шпата;
6	Больше твердости полевого шпата, но меньше кварца;
7	Больше твердости кварца, но меньше твердости топаза;
8	Больше твердости топаза, но меньше твердости корунда;
9	Больше твердости корунда, но меньше твердости алмаза;
10	Равен твердости алмаза или больше.

При использовании шкал предпочтения введение поправки бессмысленно, так как эта шкала определяет только логические операции, при этом, отсутствует масштаб, и не могут выполняться никакие арифметические действия. Баллы нельзя складывать, вычитать, перемножать или делить. Поэтому, несмотря на малую информативность шкал предпочтения, они, тем не менее, находят широкое применение при оценках в трудно формализуемых областях: в социальной сфере, искусстве, гуманитарных науках, при органолептических экспертизах, при визуальном контроле и т.д.

Рис.1.6. Структурная схема средства измерения

Структурную схему средства измерения по шкале предпочтений можно представить в виде, приведенном на рис.1.6.

Представленная на рисунке схема состоит из компаратора (устройства сравнения) и решателя (устройства принятия решения). Чаще всего в роли компаратора при оценивании по шкале предпочтений выступает человек. При автоматизации процесса это может быть ЭВМ.

Шкала предпочтений является вторым представителем непараметрических шкал. В шкале не проводится действий между несколькими объектами одновременно, а рассматриваются только парные соответствия.