1..Деформация жылдамдығы және деформациялау жылдамдығы.

Деформация жылдамдығы тензоры. Деформациялар жылдамдықтары. Қараушы кеңістігінде бекітілген декарттық координаттар жүйесін х_i қолданайық. Тұтас орта қозғалатын аймақта көлемі W болатын элементі бөліп алайық және осы көлемде орналасқын М және N нүктелеріне қарайық. Бөлінген М нүктенің радиус-векторы болсын, ал оған жақын орналасқан N нүктесінің радиус-векторы болсын (8.2 – сурет). М нүктесінің жылдамдығы , ал көрші N нүктесінің жылдамдығы тең болсын, онда дифференциал мынаған тең: .

Тензорды ( векторының векторлық аргумент бойынша туындысы) симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөліп мынаны табамыз:

. (8.3)

8.2 Сурет Тұтас ортаның ағысы

Осылай тензорды симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөле отырып N нүктесінің жылдамдығын былай табайық:

. (8.4)

Үшінші қосындыны өзгертейік. Оқулық [1] келтірілген мәліметтерді пайдалана отырып қисық симметриялы тензорды мынандай түрге келтіруге болады:

,

мұндағы ; ; .

Жылдамдық құйынын есептеудің формуласын еске ала отырып, вектор (сыңарлары ) жылдамдық өрісімен мынандай теңдікпен байланысты екендігін еске түсіреміз: .

Осындай математикалық талдаудан кейін мынаны жазуға болады:

.

Анықталған формулаларды (8.4) теңдеуіне қойып мынандай теңдеуді аламыз:

. (8.5)

Жоғарыда жазылған ең соңғы формула N нүктесіндегі жылдамдық үш қосылғыштың қосындысынан тұратынын көрсетеді. Бірінші қосылғыш, ол элемент W-ның үдемелі қозғалысының жылдамдығы , екінші қосылғыш, ол қатты дененің айналуымен байланысты жылдамдық , ал үшінші қосылғыш, ол элементтің илемділік деформациясымен байланысты жылдамдық

.

Деформация жылдамдығының тензоры. Мынандай симметриялық тензорды: , (8.6)

мұндағы , (8.7)

деформация жылдамдығы тензоры деп атайды.

Осы тензордың сыңарларында қандай геометриялық мән бар екендігін қарайық.

t уақытысына мынандай өсімшені берейік: dt. Онда ортаның бөлшектері мынандай өте кішкентай мөлшерге орын ауыстырады: .

Орын ауыстыру өрісіне мынандай деформация тензоры сәйкес келеді:

.

Деформация сыңарларын уақыт өсімшесіне dt бөле отырып, осы dt-ны нөльге ұмтылдырайық. Сонда алынатын мынандай мөлшер:

(8.8)

деформация жылдамдығы деп аталады.

Тензордың қиғаш сызықтағы сыңарлары элементарлы кесіндінің салыстырмалы ұзаруы жылдамдығы болып саналады. Осы салыстырмалы ұзару жылдамдығы координатты оське параллельді болады.

Тензордың бұйірдегі сыңарларын тік бұрышты кесінділердің бұрылу жылдамдығы немесе ығысу деформациясының жылдамдығы деп атайды.

Басты деформация жылдамдығы. Симметриялы деформация жылдамдығы тензорын координатты осьтерді бұру арқылы мынандай диагональды түрге келтіруге болады:

. (8.9)

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай теңсіздікті қанағаттандырады: ξ₁ ≥ ξ₂ ≥ ξ₃.

Жаңа координатты жүйеде тензордың бұйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни нөльден айырмашылықта тек координатты осьтер бағытындағы сызықты деформация жылдамдықтары болады. Басқаша айытқанда жаңа координатты осьте тензордың ығысу деформациясы жылдамдықтары нөльге тең болады. Осындайда, координатты жазықтықтарға параллельді қырлары (биіктігі dl) және көлемі бар элементарлы куб dt уақытысында қырлары dl(1 + ξ_i)dt және көлемі ω болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады. Осындайда, тым жоғары реттікті шексіз кішкентайға дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең: .

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай кубтық теңдеудің нақты түбірлері болады: немесе жайылған түрде жазған кезде

. (8.10)

Деформация жылдамдығы тензорының инвариантары мынаған тең:

; (8.11)

; (8.12)

. (8.13)

Бірінші инвариантың физикалық мағанасы бар. Бұл мағана бойынша бірінші инвариант көлемнің салыстырмалы өзгеруінің жылдамдығына тең. Осы физикалық мағана мынандай теңдіктен де шығады: