4.4 Критерии оптимального обнаружения сигналов на фоне помех (шумов)

4.4.1. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова – Зигерта).

Радиопередающее устройство передает детерминированный сигнал S(t) (рис. 4.10). Распространяясь от радиопередающего устройства к радиоприемному устройству, сигнал подвергается искажению в виде белого шума, в результате чего на входе радиопередающего устройства наблюдается реализация процесса Y(t)=S(t)+n(t). Требуется определить правило, которое оптимальным образом (наилучшим в данном случае), после обработки реализации процесса Y(t), позволяло бы принять решение о том, передавался сигнал или нет. Одним из таких правил (критериев) является критерий идеального наблюдателя.

Рис. 4.10

Под «идеальностью» наблюдателя подразумевается «бескорыстность», то есть стоимость пропуска цели и ложной тревоги одинокого высоки. Это в свою очередь означает, что определитель сигнала должен ошибаться как можно реже, то есть, чтобы полная вероятность появления ошибки была минимальной. В 1946 году В.А.Котельников предложил оценивать качество работы приёмника на основе минимума полной вероятности ошибки по формуле:

.

(4.30)

Такой приёмник был назван идеальным приёмником, а сам критерий – критерием идеального наблюдателя. Котельников доказал, что минимальная ошибка Р_ошmin достигается при принятии решения на основе максимума отношения апостериорных вероятностей

1.

(4.31)

При этом предполагается, что вероятности P_ЛТ и Р_ПЦ одинаково нежелательны.

Идеальный приёмник, работающий по такому принципу, минимизирует величину полной вероятности ошибки и обладает помехоустойчивостью, которую превзойти невозможно. Поэтому помехоустойчивость идеального приёмника называют потенциальной и стремятся её достичь при построении реальных приёмных устройств.

Идеальный приёмник должен выполнять следующие функции, согласно формуле принятия решения

1,	(4.32)

где Р(SU_ш) – апостериорная вероятность сигнала; Р(U_ш) – апостериорная вероятность шума; _L – коэффициент правдоподобия.

Вероятности Р(SU_ш) и Р(U_ш) известны в априори, однако, при вычислении коэффициента правдоподобия, нужно знать условные обратные вероятности P(Y/SU_ш) и P(Y/U_ш).

Коэффициент правдоподобия находится из их отношения и сравнивается с порогом регистрации

VПОР.	(4.33)

Вероятность P(Y/SU_ш) есть условная вероятность реализации y(t) при заданном сигнале S(t), а вероятность P(Y/U_ш) – условная вероятность той же реализации в отсутствии сигнала.

Поскольку порог регистрации сигнала, как было показано ранее, равен , то алгоритм работы оптимального приёмника сводится к решению неравенства

VПОР,	(4.34)

где S(t) – известный сигнал в априори; _{Т –} интервал наблюдения; V_ПОР – порог регистрации; y(t) – неизвестная принятая реализация.

Если значение интеграла превысит порог, то приёмник зафиксирует наличие сигнала. В противном случае сигнала нет. Таким образом, устраняется неопределённость относительно y(t).

Если сравнивать алгоритм работы оптимального приёмника с идеальным, то идеальный приёмник имеет порог при .

Таким образом, структурные схемы оптимального приёмника, работающего по критерию идеального наблюдателя и по критерию минимума вероятности ошибки, совпадают и отличаются лишь порогом.

Исходя из этого, структурная схема оптимального (идеального) приёмника будет иметь вид, показанный на рис. 4.10.

Рис. 4.10

Перемножающее (П) и интегрирующее (И) устройства вычисляют взаимную функцию корреляции реализации y(t) и сигнала S(t). Следовательно, коррелятор является основным элементом оптимального (идеального) приёмника. Оптимальность же решения определяется правилом выбора порога V_ПОР в решающем устройстве (РУ). Что касается именно идеального приёмника, то он минимизирует ошибку, если известны полностью параметры сигнала S(t) на приёмной стороне. Приём сигнала с точностью до его фазы называется когерентным приёмом.

Рассмотренная выше схема корреляционного приёмника реализует когерентный приём, поскольку частота и фаза сигнала заранее известны. Поэтому в приёмнике используется синхронный детектор, в котором y(t) и S(t) перемножаются. На выходе перемножителя устанавливается интегратор, который выделяет огибающую сигнала. Далее этот сигнал в решающем устройстве сравнивается с установленным порогом V_ПОР и принимается решение о наличии или отсутствии сигнала в принятой реализации y(t). В качестве интегратора часто применяют фильтр нижних частот. В качестве коррелятора может быть использован так же линейный оптимальный фильтр.

При некогерентном приёме (рис. 4.11) частота и фаза сигнала неизвестны, поэтому вместо перемножителя применяются линейный детектор огибающей (ЛДО).

Рис. 4.11

С выхода ЛДО сигнал поступает на интегратор, а затем на решающее устройство.

Отношение сигнал/шум на выходе когерентного приёмника в два раза больше, чем у некогерентного.

В качестве коррелятора можно применять линейный или согласованный с сигналом фильтр (СФ). Тогда оптимальный приёмник на интервале Т даст корреляционный интеграл

,	(4.35)

где – импульсная характеристика фильтра, согласованная с сигналом.

Импульсная характеристика СФ представляет собой зеркально перевёрнутую во времени копию входного сигнала.

Линейный фильтр в момент Т позволяет получить такие же значения U(T), как и на выходе коррелятора.

Линейные согласованные фильтры могут быть для одиночного импульса, для когерентной пачки импульсов и т.п.

В настоящее время многие радиотехнические системы переходят на цифровую обработку сигналов, при которой проще реализовать корреляционные схемы оптимальных приёмников. Их уже применяют в радиолокационных, радионавигационных и спутниковых системах. Однако, оптимальные решения во всех случаях определяется правилом выбора V_ПОР.

Итак, идеальный приёмник В.А.Котельникова – это корреляционный когерентный приёмник и он может быть реализован лишь при известных в априори параметрах сигнала (U, f и ).

Сделать такой приёмник невозможно. Практическая же ценность такой идеализации состоит в том, что помехоустойчивость идеального приёмника является как бы эталоном качества для реального приёмника.

Идеальный приёмник в рассмотренном виде для приёма сигналов с неизвестными параметрами не годиться. Действительно, например, в радиолокации невозможно знать в априори данные о сигнале. А этими данными является сам сигнал, его время прихода, направление прихода и т.д.

Таким образом, если идеальный приёмник основан на байесовском решении, то при неизвестных параметрах сигнала необходим другой (не байесовский) критерий обнаружения сигнала на фоне шумов (помех).