2. Основная терминология теории статистических решений

Одним из главных вопросов статистической теории радиотехнических систем является выбор оптимальной системы на основе теории статистических решений.

Информация носит случайный характер, следовательно, необходимо знание соответствующих статистических характеристик еще до опыта (априорно).

Сигнал X(t) в канале подвергается действию помех, и на приемной стороне будет принята апостериорная (послеопытная) реализация Y(t), которая тоже носит статистический характер. Результат извлечения информации X(t) из принятого Y(t) называется оцениванием или принятием решения (это должен делать приемник). В его задачи может входить:

- обнаружение сигнала в Y(t);

- распознавание и различение сигналов;

- оценка параметров сигнала.

Решение. Это результат обработки принятой реализации Y(t) и извлечение информации, заключенной в ней. Сам процесс обработки Y(t) и получение того или иного результата называется принятием решения. Принятие решения так же носит статистический характер.

Функция потерь (функция риска). Выбор того или иного решения ведет к определенным последствиям, поэтому они должны быть оценены в соответствии с поставленной задачей. Для количественной оценки этого соответствия вводят понятия «функция потерь». Функция потерь носит случайный характер в данный момент времени.

Риск. Полученные результаты в различные моменты времени можно сравнивать по средним статистическим показателям и на основе знания априорных и апостериорных характеристик сигналов и помех (шумов). Это нам позволит получить значение потерь, которые называются риском. Наиболее общей характеристикой является общий риск в области допустимых значений статистических показателей.

Оптимальное решение. При нахождении оптимального решения обычно рассматривается 2 случая:

- имеется полная априорная информация об информационном процессе X(t);

- нет никакой информации о процессе X(t) (критерий Гурвица).

В первом случае оптимальное решение принимается на основе минимума среднего риска. Такое решение называется Байесовским.

Во втором случае используются Минимаксное решение. Минимаксное решение - это решение, при котором минимизируются максимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски.

Правило минимакса (минимаксное правило возможных потерь) состоит в том, чтобы для каждого решения выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается решение, которое ведет к минимальному значению максимальных потерь.

Под потерями учитываются не только реальные потери, но и упущенные возможности. При использовании данного правила внимание уделяется возможным потерям, чем доходам.

3. Статистическая теория обнаружения сигнала на фоне помех (шумов).

Задача обнаружения - по принятой реализации Y(t) оптимальным образом определить, есть сигнал или нет.

В зависимости от вида сигнала, задачи обнаружения подразделяются:

- двухальтернативные (бинарные), когда на интервале наблюдения передается один из сигналов (1 или 0);

- многоальтернативные, когда принятый сигнал нужно идентифицировать с одним из «n» сигналов.

Классы задач обнаружения:

- обнаружение сигнала с известными параметрами на фоне шумов (цифровые системы синхронизации, командные линии и т.д.);

- обнаружение сигнала с неизвестными параметрами (радиолокационные, цифровые без синхронизации);

- обнаружение случайных сигналов (радиоразведка).

В качестве оптимальности здесь принимается критерий минимального риска для всех возможных реализаций Y(t).

Критериев оптимальности много:

1. критерий идеального наблюдателя (Котельникова - Зигерта);

2. критерий Неймана - Пирсона;

3. критерий Вальда – Вольфовича;

4. критерий Байеса и т.д.

Сначала рассмотрим двухальтернативную задачу обнаружения сигнала на фоне шумов.