7.3. Намагниченные тела неограниченного распространения в глубину

7.3.1. Магнитное поле штока

Простейшим телом этого класса моделей является вертикально намагниченный в продольном направлении отрезок, нижний конец которого располагается глубже верхнего не менее чем в пять раз. Отрезок является идеализацией объекта в виде штока.

Для вычисления аномального поля согласно основной формуле (6.14) нужно объемное распределение заменить поверхностным, в данном случае отрезок заменить двумя точками-полюсами. Пренебрегая влиянием нижнего полюса и учитывая приведенные на рисунке обозначения (рис.7.8 ), по формуле Кулона находим

. (7.13)

Функциональные свойства этой формулы представлены в виде симметричного графика, лежащего в области положительных значений с максимальной амплитудой при х = 0.

Горизонтальную компоненту магнитного поля находим из соотношения

. (7.14)

Функция Н_а будет представлена антисимметричным графиком с Н_а = 0 при х = 0.

0 x P

x

θ

h r

J

z

Рис. 7.8. К выводу формул Zа и Нa для штока

7.3.2. Тонкий пласт

Простейшим двухмерным телом рассматриваемого класса моделей является вертикальная плоскость, намагниченная вертикально. Для вычисления эффекта вместо интегрирования по плоскости будем вести интегрирование по контуру, т.е. по линии, являющейся верхней границей. В таком случае необходимо действие полюса (7.13) проинтегрировать по оси у в бесконечных пределах (рис.7.9). В итоге получим формулы

(7.15)

,

где m=J 2b – магнитный момент сечения линии.

Рис. 7.9. Магнитное поле тонкого вертикального пласта

Рассмотренная плоскость в геологическом смысле идеализирует тонкий вертикальный пласт, а в математическом – дает эффект от линии полюсов. По функциональным свойствам формула (7.14) тождественна гравиметрической формуле для вертикальной составляющей притяжения горизонтального двухмерного кругового цилиндра.

7.3.3. Вертикальный двухмерный пласт шириной 2в

Рассматривая эффект (рис. 7.10,a) в качестве элементарного тонкого пласта и полагая m=J dξ, имеем

0 х Р х

r₁ r₂ θ₁

А В θ₂

z

а

в

Рис. 7.10. Магнитное поле пласта большой мощности

а – модель пласта, в – магнитное поле пласта

Выполняя интегрирование в пределах от –b до b, получим (рис. 7.10,в)

(7.16)

(7.17)

7.3.4. Наклонный пласт большой мощности

Если сдвинуть пласт по направлению вектора J (рис. 7.10), то эффект от объемного распределения можем представить суммой эффектов от трех пластов: АВ, АС и ВD. При этом точки С и D находятся на бесконечности. Если α ‑ угол наклона пласта, то проекции Z, перпендикулярные линиям АС и ВD, будут равны J cos α и –J cos α.

Эффект от пласта АВ получаем по формулам (7.16, 7.17). Для вычисления эффектов от пластов АС и ВD целесообразно ввести вспомогательную систему координат, вертикальная ось которой (z) перпендикулярна соответствующим пластам (рис.7.11).

Для величин во вспомогательной системе координат, отмеченных штрихами, будем иметь

Очевидно, сумма проекций этих эффектов дает

Для пласта ВD интенсивность намагниченности отрицательна, поэтому

Теперь можем написать решающие задачу формулы

(7.18)

Опуская преобразование формул, напишем сразу их в конечном виде:

, (7.19)

. (7.20)

Формулы могут быть представлены в виде суммы слагаемых, отражающих влияние соответствующих граней наклонного пласта при условии их вертикального намагничения.

Для любого тела косой намагниченности, сечение которого можно представить многоугольником, получаются еще более громоздкие формулы.

Za 0 P x r1 r2 A B -Jcosα Jcosα z| x| z J

Рис. 7.11. К выводу формул Zа и На для мощного наклонного пласта