1. Примеры решения задач

Задача 1. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня расположенного на 44 мэВ выше уровня Ферми при температуре .

Дано:	Решение:
	Распределение Ферми-Дирака для электронов:

Это распределение и будет вероятностью заполнения электронами определенного энергетического уровня:

.

Ответ:

Задача 2. Определите максимальную энергию, которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом металла приходится по одному электрону. Массовое число металла равно 67, а плотность металла . Ответ представьте в электрон-вольтах.

Дано:	Решение:
А = 67	Максимальная энергия, которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле равна энергии Ферми . Массовое число А; – число нуклонов. Энергию Ферми определим по формуле:

,

где . Окончательно получим:

.

Ответ:

1. Задача 3. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии электронов в металле при Т = 0. Принять, что на каждый атом приходится один электрон. Плотность металла , массовое число 58.

Дано:	Решение:
А = 58	Средняя энергия электронов ; с другой стороны ; ; . ; Концентрация ,

т.к. ; .

Окончательно получим:

Ответ:

2. Задача 4. Найти максимальную энергию фонона который может возбудиться в кристалле, температура Дебая которого θ_D = 300 К.

Дано:	Решение:
θD = 300 К	Наибольшая частота колебаний, которые могут возбудиться в кристаллической решетке связана с температурой Дебая θD соотношением ,

где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка

Следовательно, определится как:

.

Ответ:

3. З а д а ч а 5. Максимальная энергия фонона, который может возбудиться в кристалле, равна . Фотон какой длины волны λ обладал бы такой же энергией.

Дано:	Решение:
	Обозначим через максимальную энергию фонона, который может возбудиться в кристалле. Наибольшая частота колебаний этого фонона связана с температурой Дебая соотношением ,

где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка. Следовательно, определится как: .

Длина световой волны определяется по формуле: , где с – скорость света. Отсюда, длину волны фотона с частотой найдем как:

.

.

Ответ:

4. З а д а ч а 6. Определить температуру, при которой теплоемкость электронного газа будет равна, теплоемкости кристаллической решетки лития. Энергия Ферми для лития равна 4,72 эВ, характеристическая температура Дебая .

Дано:	Решение:
	По условию молярная теплоемкость электронного газа равна теплоемкости кристаллической решетки лития: . .

,

где z – атомный номер лития; – энергия Ферми.

Согласно , получим:

.

.

Ответ: .

Задача 7.Определить количество тепла, необходимого для нагревания кристалла NaCl массой 20 г от температуры 2 К до 4 К. Характеристическую температуру Дебая Т_D для NaCl принять равной 320 К.

Дано:	СИ	Решение. Тепло, подводимое для нагревания тела от температуры Т1 до Т2, может быть вычислено по формуле: , (1) где С – теплоемкость тела.
m = 20 г	2·10-2 кг
Т1 = 2 К Т2 = 4 К М = 58,5·10-3 кг/моль R = 8,31 Дж/(моль·К) ТD = 320 К
Q – ?

Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением:

, (2)

где m – масса тела,

с_м – молярная теплоемкость тела,

М – молярная масса.

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим:

(3)

В общем случае молярная теплоемкость с_м есть сложная функция от температуры. Однако если выполняется условие Т << T_D, то нахождение Q облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, согласно которому молярная теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (3), получим:

. (5)

Выполним интегрирование:

.

Производим вычисления:

.

Ответ: Q = 1,21 мДж.

Задача 8. Закон Стефана - Больцмана

Задача 9. 1 и 2 законы Вина.

5. Задача 10. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность σ собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого .

Дано:	Решение:
	Зависимость электропроводности σ собственного полупроводника от температуры определяется следующим выражением: , где k – постоянная Больцмана, – ширина запрещенной зоны . Отсюда запишем отношение .

.

.

Ответ: