7. Дифракционная решетка

7.1. Основные формулы и обозначения

Пусть на прозрачную дифракционную решетку шириной с числом щелей (штрихов) и периодом падает нормально монохроматическая ЭМВ с длиной (рис. 18); – координата точки наблюдения интерференции на экране Э; – расстояние от решетки до экрана. Тогда главные максимумы дифракционной картины наблюдаются под углами, которые определяются соотношением:

, (53)

где – порядок главного максимума. Распределение интенсивности ЭМВ на экране показано справа от него.

Если на дифракционную решетку падает свет сложного спектрального состава, то для каждой волны определенной длины на экране наблюдается свой набор линий – свет разлагается в спектр.

Е сли угол дифракции мал, то выполняется соотношение: .

Разрешающая способность дифракционной решетки – способность решетки создавать раздельные изображения (линии), соответствующие двум близким по длине волнам, – определяется выражениями:

Рис. 18 (54)

и

(55)

где – минимальное различие близких длин волн ( ), которые могут быть разрешены.

7.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 16. Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр второго порядка на угол 17°. Найти угол между направлениями на спектры первого порядка и максимальный порядок спектра, даваемый решеткой для данной волны.

Дано: ; ; Найти:

Решение. Угол между направлениями на спектры -го порядка (рис. 19) можно найти по формуле: (56)

где при переходе ко второму равенству использована симметрия интерференционной картины относительно центрального максимума.

С огласно формуле (53) а Отношение левых частей этих формул равно отношению правых: откуда и, следовательно, . Подставляя это выражение в формулу (56), получим: . Подстановка численных данных дает:

Максимально возможный порядок спектра согласно формуле (53) соответствует максимальному значению синуса угла дифракции. Так как максимальное значение синуса равно 1 (что соответствует максимальному с физической точки зрения углу дифракции ), согласно формуле (53), а Отношения левых Рис. 19

и правых частей этих формул равны: Следовательно, где прямоугольные скобки означают, что вычисляется целая часть числа, заключенного в скобки, так как порядок спектра может быть только целым числом. Подстановка численных данных дает:

Ответ: , ;

З а д а ч а 17. На дифракционную решетку, содержащую 10000 штрихов на 1 см, падает нормально луч белого света. Определить угол, под которым виден спектр первого порядка, если максимальная длина волны красного света равна 0,76 мкм, а минимальная фиолетового – 0,40 мкм.

Дано: ; м; ; м; м; Найти:

Решение. Угол, под которым виден спектр первого порядка, равен разности углов отклонения начала и конца спектра первого порядка (рис. 20): (57)

г де использована формула (53), из которой видно, что при фиксированном порядке спектра чем больше длина волны, тем больше угол отклонения лучей, поэтому максимальный угол отклонения соответствует максимальной длине волны а минимальный – – минимальной длине волны

Будем рассматривать спектр, соответствующий положительным значениям порядка максимума

Рис. 20 Согласно определению периода и формуле (53) а Следовательно, , . Подставляя эти равенства в формулу (57), получим: . Численный расчет дает:

Ответ: ,

З а д а ч а 18. Луч, образованный волнами с длиной 625,0 и 625,5 пм, падает на дифракционную решетку шириной 5 см. Найти: 1) разрешающую способность дифракционной решетки, необходимую для разрешения двух линий натрия; 2) период решетки, соответствующий таким условиям, если максимальный порядок спектра должен быть равен 5.

Дано: м; м; м; Найти:

Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки вычисляется по формуле (55): подставляя в которую численные данные, получим: Период решетки определяется по формуле:

в которой число штрихов можно найти из выражения , следующего из равенства (54). Объединяя две последних формулы, найдем: и, после подстановки численных значений величин: м.

Ответ: ;

м.