6. Дифракция фраунгофера на щели

6.1. Основные формулы и обозначения

П усть на бесконечную щель шириной , образованную двумя бесконечными полуплоскостями, падает плоская волна (на рис. 15 показан случай, когда фронт падающей волны параллелен полуплоскостям). Параллельные лучи, испускаемые согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждым элементом щели, собирает в своей фокальной плоскости линза. (Она

Рис. 15 не дает дополнительной разности хода, поэтому не изображена на рис. 15). В фокальной плоскости линзы на расстоянии от щели параллельно полуплоскостям расположен экран Э. В результате дифракции Фраунгофера на экране наблюдается дифракционная картина в виде симметричных относительно щели бесконечных полос, параллельных щели. Распределение интенсивности света I на экране показано справа от него. При падении на щель монохроматического света на экране чередуются светлые и темные полосы, центральная светлая полоса наиболее яркая. При падении белого света центральная полоса белая, остальные полосы – цветные. При угле дифракции оптическая разность хода крайних лучей (рис. 16):

(45)

Е сли расстояние от центра экрана до точки наблюдения интерференции то угол дифракции мал и выполняется соотношение

Пусть под углом щель открывает зон Френеля:

. (46)

Рис. 16

Тогда точки минимума интенсивности дифракционной картины на экране определяются условием:

, (47)

где – порядок минимума. Точки максимума определяются условием:

(48)

где – порядок максимума (порядок дифракции). Нулевой порядок дифракции ( ) отвечает главному (центральному) максимуму при

6.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 13. На непрозрачную пластинку с узкой щелью падает нормально плоская волна с длиной 500 нм. Угол отклонения прошедших лучей, соответствующий первому дифракционному максимуму, составляет 30°. Определить ширину щели.

Дано: м; Найти:

Решение. Точки максимума интенсивности дифракционной картины от щели (рис. 15) определяются условием (48), а оптическая разность хода – выражением (45). Приравнивая правые части этих соотношений, получим:

откуда где взят только положительный знак, так как угол дифракции выбран положительным: Подстановка численных данных дает м.

Ответ: м.

З а д а ч а 14. На щель шириной 0,28 мм в непрозрачной пластине падает нормально монохроматический свет с длиной волны 0,7 мкм. За щелью помещена собирающая линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Что наблюдается на экране (максимум или минимум дифракционной картины) под углом дифракции ?

Дано: м; м; рад. Найти:

Решение. Чтобы определить, максимум или минимум дифракционной картины будет наблюдаться под углом дифракции нужно найти число зон Френеля открываемых щелью. Если окажется четным, то, согласно формуле (47), будет наблюдаться

минимум; если нечетным, то, согласно формуле (48), – максимум. Выразим из формулы (46):

(49)

где оптическая разность хода крайних лучей (рис. 16) определяется соотношением (45), подстановка которого в формулу (49) и учет того, что при малых углах приводит к выражению: Подставив в него численные данные, получим: – нечетное, следовательно, под данным углом на экране наблюдается максимум.

Ответ: на экране наблюдается максимум.

З а д а ч а 15. Белый свет падает нормально на узкую длинную щель в непрозрачном экране. Определить ширину щели, если разность между углами дифракции, соответствующими второму максимуму для зеленого света с длиной волны 570 нм и второму максимуму для синего света с длиной волны 450 нм, оказалась равной 0,002 рад. Углы дифракции считать малыми.

Дано: м; м; рад; Найти:

Решение. Согласно формуле (45) (см. рис. 16). Отсюда, учитывая малость углов дифракции и (она означает, что ), получим: (50)

Будем рассматривать спектр, соответствующий положительным значениям порядка максимума (рис. 17). Подстановка условия максимума дифракции (48) в формулу (50) приводит к равенству: из которого можно выразить углы и :

; (51)

(52) Рис. 17

Так как разность углов дифракции можно найти, вычитая правую часть соотношения (52) из правой части соотношения (51): Отсюда выразим : Подставив в это выражение численные данные, найдем: м.

Ответ: м.