5. Дифракция френеля на круглом отверстии

5.1. Основные формулы и обозначения

Согласно принципу Гюйгенса – Френеля монохроматическое излучение точечного источника (рис. 11) можно заменить излучением воображаемых источников, расположенных на волновом фронте радиусом Поверхность разбивается на кольцевые зоны Френеля так, чтобы расстояния от краев соседних зон до точки наблюдения отличались на Пусть – точка пересечения поверхности с линией тогда – расстояние от источника до поверхности , – расстояние от поверхности до точки наблюдения. При амплитуда волн, приходящих в точку от зон, медленно убывает с увеличением расстояния до зоны (т. е. с ростом номера зоны ):

. (35)

Р адиус -й зоны Френеля при малых

(36)

Если , то волновой фронт в точке наблюдения можно считать плоским, а выражение (36) принимает вид:

(37)

Рис. 11 Если на пути сферической волны поставить непрозрачную преграду с круглым отверстием так, чтобы отверстие оставляло открытыми ровно зон Френеля, то при радиус отверстия он определяется по формуле (36), а при

– по формуле (37). Дифракционная картина на экране симметрична относительно точки и состоит из концентрических чередующихся светлых и темных колец, число которых равно числу открытых отверстием зон Френеля. Если при малых отверстие открывает четное число зон Френеля ( , ), то амплитуда приходящей в точку волны

(38)

и в центре картины наблюдается минимум (темное круглое пятно). Если при малых отверстие открывает нечетное число зон ( , ), то амплитуда приходящей в точку волны

(39)

и на экране наблюдается максимум (светлое круглое пятно).

5.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 10. Найти радиус шестой зоны Френеля для волновой поверхности, удаленной на расстояние 15 м от точечного источника монохроматического света с длиной волны 650 нм, если точка наблюдения находится на расстоянии 24 м от поверхности.

Дано: ; м; м; м. Найти: .

Решение. Так как , радиус зоны Френеля (см. рис. 11) вычисляется подстановкой численных данных в формулу (36): м. Ответ: , м.

З а д а ч а 11. Экран Э (рис. 12)для наблюдения дифракции Френеля находится на расстоянии 12 м от точечного монохроматического источника света с длиной волны 720 нм. На расстоянии 5 м от источника S помещена преграда с диафрагмой П. При каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного изображения отверстия M будет а) наиболее темным, б) наиболее светлым?

Дано: м; м; м; а) б) Найти:

Решение. а) Наиболее светлое пятно в центре дифракционного изображения отверстия на экране (рис. 13, а) – следствие наименьшей из всех возможных амплитуд результирующей волны, приходящей в центр изображения. Согласно формуле (39) максимум амплитуды результирующей волны наблюдается при нечетном числе открытых отверстием зон Френеля :

Следовательно, чем светлее центр дифракционного изображения отверстия на экране, тем больше сумма амплитуд в правой части формулы (39). Согласно формуле (35) амплитуда волн, приходящих в точку наблюдения от зон Френеля, убывает с ростом номера зоны. Следовательно, чем больше сумма амплитуд, тем больше амплитуда волны, приходящей от последней ( -той) открытой зоны. Но среди волн, приходящих от зон с нечетными номерами, максимальную амплитуду имеет волна, приходящая от первой зоны Френеля. Таким образом, в данном случае Так как радиус отверстия (рис. 12) вычисляется по формуле (36) при , в которой и : . Подставив сюда численные данные, получим: м.

а б

Рис. 12 Рис. 13

б) Наиболее темное пятно в центре дифракционного изображения отверстия на экране (рис. 13, б) – следствие наименьшей из всех возможных амплитуд результирующей волны, приходящей в центр изображения. Согласно формуле (38) минимум амплитуды результирующей волны наблюдается при четном числе открытых отверстием зон Френеля : Следовательно, чем темнее центр дифракционного изображения отверстия на экране, тем меньше разность амплитуд в правой части формулы (38). Согласно формуле (35) амплитуда волн, приходящих в точку наблюдения от зон Френеля, убывает с ростом номера зоны. Следовательно, чем меньше разность амплитуд, тем больше амплитуда волны, приходящей от последней ( -той) открытой зоны. Но среди волн, приходящих от зон с четными номерами, максимальную амплитуду имеет волна, приходящая от второй зоны Френеля. Таким образом, в данном случае Так как радиус отверстия вычисляется по формуле (36) при в которой и : . Подставив сюда данные, получим: м.

Ответ: а) м;

б) м.

З а д а ч а 12. На непрозрачную преграду с отверстием радиусом 1 мм падает плоская монохроматическая волна. Когда расстояние от преграды до установленного за ней экрана равно 0,381 м, в центре дифракционной картины наблюдается резкий минимум интенсивности. При удалении экрана до расстояния 0,508 м минимум интенсивности сменяется резким максимумом. Определить длину волны падающего света и число зон Френеля, открывавшихся отверстием при первом положении экрана.

Дано: м; м; м; Найти:

Решение. Так как падающая на преграду П волна плоская (рис. 14), для радиуса отверстия в обоих положениях экрана Э справедлива формула (37): ; (40)

(41)

В формулах (40) и (41) и – число открываемых отверстием зон Френеля при первом и втором положениях экрана соответственно. Установим связь между ними. Согласно формулам (40) и (41) при возрастании расстояния до преграды ( ) и постоянстве радиуса отверстия и длины волны число открытых зон уменьшается: Так как минимум сменяется максимумом один раз, и отличаются на 1: Подставим это равенство в формулу (41), а из полученного соотношения выразим :

(42)

Выразим из формулы (40):

(43) Рис. 14

и, приравняв правые части соотношений (42) и (43) ( ), найдем длину волны: Подставив в это выражение численные данные, получим: м. Подставив это значение в формулу (43), найдем:

Ответ: м;