3. Интерференция в тонких плоскопараллельных пленках

3.1. Основные формулы и обозначения

Наиболее известное проявление интерференции – радужное окрашивание тонких пленок – возникает в результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями пленки. Поэтому при решении задач по данной теме нужно знать длины ЭМВ видимой области спектра, которые указаны в таблице 1.

Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку (аналог тонкой пленки постоянной толщины) падает рассеянный свет от протяженного источника. Отраженный и проходящий свет также будут рассеянными. Как видно из рис. 7, лучи 1 и 2, падающие на пластину под одним углом, выходят из пластины (после различного количества отражений и преломлений) параллельно друг

Таблица 1
Соответствие цвета и диапазона длин волн
Цвет	Диапазон длин волн, нм
Фиолетовый	400 – 430
Синий	431 – 480
Зеленый	481 – 560
Желтый	561 – 590
Оранжевый	591 – 640
Красный	641 – 760

другу. Поэтому интерференционную картину от таких лучей можно наблюдать на экране в фокальной плоскости собирающей линзы в отраженном (лучи 1 и 2, рис. 7, а) или проходящем (лучи и , рис. 7, б) свете. Картина представляет собой последовательность полос, различно окрашенных в белом свете, и чередующихся темных и светлых в монохроматическом.

Пусть – толщина пленки; – ее показатель преломления; – угол падения луча из первой среды с показателем преломления ; – угол преломления луча в пленке, равный углу падения на третью среду с показателем преломления ; – угол преломления луча в третьей среде. Без учета возможных потерь полуволны при отражении от оптически более плотной среды (2) оптические длины пути лучей 1 и 2 от точки падения A до прямой (до линзы) соответственно равны: и ; оптические длины пути лучей и от точки падения до прямой (до линзы) соответственно равны: и Оптическая разность хода лучей 1 и 2 при наблюдении интерференции в отраженном свете и лучей и при наблюдении интерференции в проходящем свете одинакова и имеет значение:

. (17)

Линза не вносит дополнительной разности хода.

Если и , то при вычислении оптической разности хода в проходящем свете (рис. 7, б) необходимо учесть потерю полуволны при отражении луча в точках и от оптически более плотных сред. Если и , то при вычислении оптической разности хода в отраженном свете (рис. 7, а) необходимо учесть потерю полуволны при отражении лучей и в точках и от оптически более плотных сред.

а б

Рис. 7

Интенсивность результирующей проходящей или отраженной волны максимальна (при данном угле падения), если для разности хода выполняется условие максимума (5), и минимальна, если выполняется условие минимума (4).

3.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 6. На поверхность стеклянного объектива с показателем преломления 1,5 нанесена тонкая прозрачная пленка с показателем преломления 1,65. Перпендикулярно поверхности пленки падает параллельный пучок белого света. Найти минимальную толщину пленки, при которой в проходящем свете она окрашена в зеленый цвет с длиной волны 495 нм.

Дано: ; ; ; м; °. Найти: .

Решение. Система из трех сред с показателями преломления (воздух), (пленка) и (объектив) изображена на рис. 7, б. Там же показан ход лучей в этой системе, – угол падения луча на пленку; – угол преломления прошедшего пленку луча; – угол преломления прошедшего в объектив луча.

Интерференция прошедших лучей и наблюдается в объективе. Луч проходит пленку без отражения. Луч отражается дважды: в точках и , в обоих случаях от менее плотной среды ( и ), поэтому потерь полуволны нет, и оптическая разность хода лучей и равна геометрической разности хода:

(18)

Пленка кажется окрашенной в какой-либо цвет, если для волны этого цвета под данным углом наблюдения выполняется условие максимума интерференции. Приравнивая правую часть выражения (18) к правой части условия максимума (5), получим: откуда

(19)

Как видно из формулы (19) толщина пленки минимальна, если минимально значение , т. е. если Подстановка численных данных в формулу (19) дает: нм.

Ответ: нм.

З а д а ч а 7. На поверхность объектива с показателем преломления нанесена тонкая прозрачная пленка ( ) толщиной 400 нм. Пленка освещается параллельным пучком белого света, падающим на нее под углом 60°. В какой цвет будет окрашена пленка в отраженном и проходящем свете? Какого цвета лучи имеют минимальную интенсивность в отраженном и проходящем свете?

Дано: ; ; ; м; °. Найти: ; ; ; .

Решение. Система из трех сред с показателями преломления (воздух), (пленка) и (объектив) изображена на рис. 7. Там же показан ход лучей в этой системе, – угол падения луча на пленку; – угол преломления прошедшего пленку луча; – угол преломления прошедшего в объектив луча. Интерференция отраженных от пленки лучей 1 и 2 наблюдается в воздухе, интерференция прошедших лучей и – в объективе.

Оптическая разность хода лучей 1 и 2 в отраженном свете (рис. 7, а) без учета возможных потерь при отражении:

(20)

Луч 1 теряет пол волны в точке в связи с изменением фазы на противоположную при отражении от оптически более плотной среды ( ). Луч 2 теряет пол волны в точке по той же причине ( ). Поэтому оптическая разность хода с учетом выражения (20)

(21)

Оптическая разность хода лучей и в проходящем свете (рис. 7, б) без учета возможных потерь при отражении:

(22)

Луч проходит пленку без отражения. Луч отражается дважды: сначала – в точке от более плотной среды ( ), теряя при этом полуволну; затем – в точке от менее плотной среды ( ) без потери полуволны, поэтому с учетом выражения (22) оптическая разность хода лучей и

(23)

Пленка кажется окрашенной в какой-либо цвет, если для волны этого цвета под данным углом наблюдения выполняется условие максимума интерференции. Приравнивая поочередно правые части выражений (21) и (23) к правой части условия максимума (5), получим:

; (24)

(25)

В численных расчетах по формулам (24) и (25) из всего множества волн, удовлетворяющих условию максимума, выбирается волна, принадлежащая видимой части спектра: 400 нм 760 нм. Расчеты длин волн в обоих случаях производятся последовательно, начиная с наименьшего допустимого значения Подстановка численных данных в формулу (24) дает длину волны видимого света при : м. Она соответствует фиолетовому цвету. Следовательно, в отраженном свете пленка будет казаться фиолетовой. Подстановка численных данных в формулу (25) при дает длину волны м. Она соответствует желтому цвету. Следовательно, в проходящем свете пленка будет казаться желтой.

Минимальная интенсивность волны наблюдается, если ее длина удовлетворяет условию минимума интерференции (4). Приравнивая поочередно правые части выражений (21) и (23) к правой части условия (4), получим:

; (26)

(27)

Подстановка численных данных в формулу (26) дает длину волны видимого света при : м. Таким образом, лучи желтого цвета имеют в отраженном свете минимальную интенсивность. Подстановка численных данных в формулу (27) при дает длину волны видимого света: м. Следовательно, в проходящем свете полностью гасятся лучи фиолетового цвета.

Ответ:

м;

м;

м;

м.