Распределение Эрланга. Гамма-распределение времен обслуживания сообщений

Интервалы времени между сообщениями, поступающими произвольно, распределены экспоненциально. Переключение потока на различные направления описывается распределением Эрланга. Например, пусть во входной линии, по которой передаются сообщения с экспоненциальным законом распределения времени их поступления, стоит трехпозиционный переключатель. Этот переключатель направляет поочередно сообщения по различным каналам (рис. 3).

Из рисунка очевидно, что среднее время поступления сообщений в каждом канале больше, чем среднее время поступления сообщений в исходном потоке.

Среднеквадратическое отклонение () для исходного и результирующего потоков осталось неизменным. Отношение

(15)

принято называть коэффициентом Эрланга. Для экспоненциального потока Следовательно, k = 1. Для результирующих потоков, подчиняющихся распределению Эрланга 3-го порядка, коэффициент k = 3. Если посылать сообщения по очень большому числу каналов, то интервал между сообщениями в каждом канале окажется весьма значительным, в то время, как среднеквадратическое отклонение остается прежним. При этом значение k будет возрастать. Плотность распределения вероятностей интервалов между двумя соседними сообщениями в потоке Эрланга k-го порядка

(16)

Очевидно, что при k = 1 имеет место простейший поток. Распределение Эрланга является частным случаем более общего гамма-распределения. Для распределения Эрланга k - всегда целое число.

Для гамма-распределения параметр k может принимать любое значение

(17)

Гамма-функция Г(k) имеется в таблицах и принимает значения (k-1)! для целых k.

Функция распределения вероятностей F_k() получается интегрированием соотношения в пределах от 0 до : (18)

и может быть использована для моделирования потоков сообщений с заданным гамма-распределением времен поступления.

Экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и постоянный набор являются частными случаями гамма-распределения. Для экспоненциального k = 1, для распределения Эрланга k - любое целое число. Для постоянного набора значений - k = .

Графики соответствующих функций (17) и (18) для различных коэффициентов Эрланга приведены на рис. 4. Из них очевидно, что для значений k = 1 имеет место экспоненциальный закон. При увеличении коэффициента Эрланга процесс все более приближается к детерминированному, а график зависимости P_k() сужается, в пределе стремясь к  функции.

Степень детерминированности процесса можно охарактеризовать коэффициентом вариации

(18а)

Коэффициент вариации указывает, насколько случайная величина интервала  отклоняется от своего среднего значения .

Одним из свойств гамма-распределения является следующее: если несколько случайных переменных подчинены гамма-распределению, то сумма этих переменных также подчинена гамма-распределению. Это позволяет суммировать времена при прохождении случайных потоков через различные устройства обработки.

При вычислении результирующих значений среднего времени, а также среднеквадратического отклонения, необходимо иметь в виду, что для суммы N случайных величин

(19)

По указанным величинам можно определить значение коэффициента k для результирующего потока.

Рассмотрим первый пример. Поток сообщений проходит через два устройства обработки информации, включенные последовательно. Времена обработки сообщений для первого устройства подчинены экспоненциальному закону со средним периодом , при этом

₁() = .

На обработку каждого сообщения вторым устройством затрачивается постоянное время . Суммарные времена обработки сообщений обоими устройствами подчиняются уже гамма-распределению с параметром

Зная параметр k результирующего потока, можно по формуле (17) подсчитать вероятность того, что интервал между сообщениями в точности равен , а по формуле (18) - вероятность того, что он не превышает .

Итак, процедура расчета указанной вероятности распадается на четыре шага:

1. Расчет среднего времени между двумя сообщениями результирующего потока.

2. Расчет среднеквадратического отклонения результирующего потока.

3. Определение коэффициента k для соответствующего гамма-распределения.

4. Получение по формуле (18) значения

Рассмотрим еще один пример. Ранее было показано, что форма г данных подуровня УДС для ЛВС со случайным доступом содержит две составляющие: поле управления постоянной длины, содержащее 26 байт, и информационное поле переменной длины, содержащее, в среднем, 64 байта информации. При скорости передачи В=10 Мбит/с; управляющая часть кадра будет передаваться в канал в течение постоянного промежутка времени = 20,8 мкс. Время передачи информационного поля является случайной величиной со средним значением =51,2 мкс. Если принять закон распределения времени - экспоненциальным, то его среднеквадратическое отклонение = 51,2 мкс. Полное время передачи кадра, также случайная величина. Однако закон распределения плотностей ее вероятностей уже нельзя назвать экспоненциальным.

Среднее значение

= 72 мкс.

Учитывая детерминированный характер времени

среднеквадратическое отклонение

коэффициент Эрланга для полученного закона распределения

Соответствующее ему значение коэффициентов вариации

Коэффициент вариации непосредственно связан со вторым на­чальным моментом случайной величины

(20)

и оказывает существенное влияние на характеристики системы массово­го обслуживания.