3.Математические модели объектов проектирования.

3.1.Классификация математических моделей.

Математическая модель (ММ) технического объекта есть совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.д.) и отношений между ними, которая адекватно отображает свойства технического объекта, интересующие разработчика этого объекта.

Выполнение проектных процедур и операций в САПР основано на оперировании ММ.

В САПР для каждого иерархического уровня сформулированы основные положения математического моделирования, получены типовые ММ элементов проектируемых объектов, формализованы методы получения и анализа мат. моделей системы.

Функциональная модель – ММ, отражающая закономерности процессов функционирования объекта. Используется в проектных процедурах, связанных с функциональным аспектом проектирования.

Структурные модели – ММ, отражающие только структурные свойства объекта. Структурные модели чаще всего представляются в виде графов, матриц, списков и т.п.

Как правило, функциональные модели более сложные, поскольку в них отражаются и сведения о структуре объектов.

Функциональные модели применяются преимущественно на завершающей стадии описания объектов, предварительно синтезированных с помощью структурных моделей.

3.2.Иерархия математических моделей в сапр.

Иерархический подход к проектированию включает в качестве своей основы иерархию математических моделей.

Деление моделей по иерархическим уровням (уровням абстрагирования) происходит по степени детализации описываемых свойств и процессов, протекающих в объекте.

На каждом иерархическом уровне используются понятия “ система” и “элемент”. Система k- го уровня рассматривается как элемент на соседнем, более высоком (k-1)-ом уровне.

Представим структуру некоторого объекта в виде множества элементов и связей между ними. Выделим некоторые подмножества элементов и назовем их блоками (обозначены штриховыми линиями).

U₁

Бл.А Бл.Б

U₃

V₁

V₂

V₃

V₄

U₂

Z₁

Z₂

V₅

V₇

V₉

V₈

V₆

Z₃

Пусть состояние каждой связи характеризуется одной фазовой переменной:

V_i– внутренние связи между элементами данного блока;

Z_j– выходы блока;

U_k– входы блока.

Фазовые переменные – это зависимые переменные, величины, характеризующие состояние объекта.

Вектор фазовых переменных– это совокупность фазовых переменных.

Для функциональных моделей существует понятия полной модели и макромодели.

Полная модель блока– модель, составленная из моделей элементов с учетом межэлементных связей, т.е. модель, описывающая как состояние выходов, так и состояние каждого из элементов блока.

Моделями элементов блока А являются уравнения, связывающие входные и выходные переменные:

f₁(V₁;U₁) = 0;

f₂(V₁;V₂) = 0;

f₃(V₂;U₃;V₄) = 0 (1)

f₉(V₉;V₈;Z₂) = 0

Полной моделью блока будет система уравнений:

(2)

где– векторы внутренних, выходных и входных фазовых переменных блока.

При большом количестве элементов размерность вектора V и порядок системы уравнений (2) становятся чрезмерно большими и требуются упрощения.

При переходе к более высокому иерархическому уровню упрощения основаны на исключении из модели вектора внутренних переменных V . Полученная в результате модель представляет собой систему уравнений:

(3)

Эта система имеет существенно меньшую размерность, чем полная модель (2) и называется макромоделью.

Макромодель характеризует процессы взаимодействия данного блока с другими в составе системы блока и не описывает процессы внутри блока.

Модели (2) и (3) относятся друг к другу как полная модель и макромодель на n – ом уровне иерархии.

На более высоком (n-1) – ом уровне блок А рассматривается как элемент и макромодель (3) становятся модель элемента А.

Модели (1) и (3) относятся друг к другу как модели элементов соседних иерархических уровней.

Из моделей типа (3) можно составить полную модель системы на (n-1) – ом уровне.