Примерные варианты контрольных работ Контрольная работа №1

1. Найти производную функции.

.

Ответ: .

2. Найти вторую производную функции у=х²lnx.

Ответ: , .

3. Вычислить предел .

Ответ: 2.

4. Найти частные производные первого порядка.

.

Ответ:

5. Найти градиент функции z в точке М₀ и производную в точке М₀ по направлению вектора .

.

Ответ: ,

6. Исследовать функцию на экстремум

.

Ответ: , ,  экстремума нет, - точка минимума, .

Контрольная работа №2

Вычислить интегралы.

1. ;

2. ;

3. а) ;

б) ;

4. ;

5. .

Решение примерного варианта

№ 1.

.

1. Применим подстановку . Тогда и

.

2. Применим подстановку . Тогда

и .

3. Применим подстановку . Тогда , и .

Окончательно, получаем

,

где - произвольная постоянная.

№ 2.

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим . Тогда . Считая , по формуле интегрирования по частям , получаем:

.

Применим ещё раз формулу интегрирования по частям, полагая , откуда . Имеем:

№ 3а.

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей. Прежде всего, представим знаменатель в виде произведения неразложимых на множители многочленов:

.

На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей имеем:

Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему знаменателю, имеем:

.

Найдём коэффициенты разложения методом частных значений:

при находим, что

.

при находим, что

.

при находим, что

;

учитывая, что , получаем: .

Окончательно, имеем:

№ 3б.

На основании теоремы о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей имеем:

.

Приведя дроби в обеих частях последнего равенства к общему знаменателю, имеем:

:

Найдём коэффициенты разложения методом частных значений:

при имеем:

;

при имеем:

.

Окончательно, получаем:

.

№ 4.

Раскрывая скобки в подынтегральном выражении и используя тригонометрические тождества

получаем:

№ 5.

Воспользуемся подстановкой . Тогда интеграл перепишется в виде:

.

Выделив в знаменателе последней дроби полный квадрат и ещё раз сделав замену переменной, получим:

Теоретические вопросы к экзамену

1. множества и способы их задания. Подмножества, универсальное и пустое множества. Операции над множествами.

2. Счетные и несчетные множества. Основные числовые множества.

3. Функции и способы их задания.

4. Основные свойства функций ( возрастание, ограниченность, четность, периодичность и т.д.).

5. Элементарные функции.

6. Предел последовательности. Предел функции. Основные теоремы о пределах.

7. Замечательные пределы.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых.

9. Непрерывные функции и их свойства.

10. Классификация точек разрыва.

11. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

12. Задачи, приводящие к понятию производной.

13. Определение, геометрический и механический смысл производной.

14. Правила дифференцирования.

15. Таблица производных.

16. Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность формы первого дифференциала.

17. Производные и дифференциалы высших порядков.

18. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

19. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Условия монотонности функции.

20. Правило Лопиталя.

21. Формула Тейлора.

22. Формулы Маклорена для основных элементарных функций.

23. Достаточные условия экстремума.

24. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

25. Выпуклые и вогнутые функции. Точки перегиба.

26. Асимптоты.

27. Полное исследование функций и построение графиков.

28. Функции нескольких переменных: определение и свойства.

29. Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

30. Частные производные, их геометрический смысл.

31. Дифференциал функции нескольких переменных.

32. Производная сложной функции нескольких переменных.

33. Неявные функции и их дифференцирование.

34. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

35. Градиент и производная по направлению.

36. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Независимость смешанной производной от порядка дифференцирования.

37. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

38. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия.

39. Условный экстремум.

40. Экстремум функции нескольких переменных на множестве.

41. Метод наименьших квадратов.

42. Первообразная и неопределенный интеграл.

43. Свойства неопределенных интегралов.

44. Таблица интегралов.

45. Понятие о неберущихся интегралах.

46. Основные методы интегрирования.

47. Интегрирование рациональных функций.

48. Интегрирование тригонометрических функций.

49.Интегрирование некоторых иррациональных функций.