Методические указания к выполнению расчетно-графической работы

Задание 1. Рассмотрим пример.

Вычислить пределы функций.

а) ; ; ;

б) ; в) .

Решение.

а) .

.

Раскроем неопределенность . Так как и , то

.

.

Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень :

, так как , , при .

б) .

Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулой . Перепишем формулу в более удобном для использования виде: .

В нашем случае получим .

, так как  первый замечательный предел (в нашем случае ).

в) .

Сделаем замену , тогда , . Так как , то .

Тогда

, так как – второй замечательный предел.

Задание 2.

Рассмотрим пример.

Подобрать , чтобы функция была непрерывной. Доказать непрерывность функции при найденном  и непрерывность при каком-либо другом ₁. Построить графики функций для обоих случаев.

Решение. Для того чтобы функция у=f(x) была непрерывна в точке х=а, должно выполняться равенство

.

В нашем случае функция непрерывна на интервалах (-;1) и (1;+), разрыв возможен в точке х=1.

Вычислим , и f(1).

.

.

f(1)=|x²-2x-3|_x=1=4.

Функция f(x) будет непрерывной в точке х=1, если 4==4, т.е. при =4.

Пусть ₁=1, тогда , f(1)=4. Таким образом, получаем, что условие непрерывности функции f(x) в точке х=1 не выполняется, т.к. 414. Следовательно, при ₁=1 функция имеет разрыв.

Построим графики функций

при =4 при ₁=1

у

у

5

5

4

3

3

0

1

х

0

1

х

Рис. 1

Рис. 2

Задание 3.

Для нахождения производной второго порядка сначала нужно найти производную первого порядка, а затем от полученной производной взять еще раз производную – это и будет производная второго порядка.

Для выполнения этих действий потребуется знание таблицы производных и следующих правил дифференцирования:

1. c'=0, где c=const;

2. (cu)'=cu'

3. (u v)'=u' v'

4. (uv)'=u'v+uv'

5. ;

6. .

Задание 4. Рассмотрим пример.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Найдем область определения функции : . Таким образом, .

2. Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.

Так как и , то функция не является ни четной, ни нечетной.

Заданная функция непериодическая.

3. Исследуем функцию на непрерывность.

Заданная функция является непрерывной на области определения. Точка является точкой разрыва.

Найдем односторонние пределы функции в этой точке:

и

Следовательно, – точка разрыва II рода.

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.

а) с осью (х=0): , следовательно, – точка пересечения с осью ;

б) с осью Ох (у=0): , следовательно, – точки пересечения с осью Ох.

5. Исследуем график функции на наличие асимптот.

а) Найдем вертикальные асимптоты.

Так как – точка разрыва II рода, то – уравнение вертикальной асимптоты.

б) Найдем уравнения горизонтальных асимптот.

Аналогично

Значит, горизонтальных асимптот график функции не имеет.

в) Найдем уравнения наклонных асимптот графика функции в виде и , где ; ; ;

Аналогично

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

6. Исследуем функцию на экстремум и промежутки возрастания и убывания.

Для этого найдем производную первого порядка:

Найдем критические точки I рода:

1) : откуда , ;

2) не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, , – точки возможного экстремума. Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка. На каждом из них найдем знаки производной :

		0		1		2
	+	0	–	не сущ.	–	0	+
		max		не сущ.		min

Так как при переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, тогда . Так как при переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», то – точка минимума, тогда .

Функция возрастает при , так как на этом промежутке . Функция убывает при , так как на этом промежутке .

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Для этого найдем производную второго порядка:

Найдем критические точки II рода:

1) : таких нет;

2) не существует в точке , но эта точка не принадлежит области определения функции.

Значит, критических точек II рода нет, и, следовательно, нет точек перегиба.

Определим знаки второй производной:

		1
	–	не сущ.	+
		не сущ.

При график функции является выпуклым, так как на этом промежутке ; при график функции является вогнутым, так как на этом промежутке .

8. По результатам исследования построим график заданной функции (рс.3).

Рис.3

З адание 5.

Рассмотрим пример.

Найти и изобразить область существования функции . Найти частные производные .

Решение. Найдем область существования функции.

1) Так как арифметический корень четной степени определен на множестве неотрицательных чисел, то 9-х²-у²0.

2) Поскольку функция y=arcsinx определена при x[-1;1], то -1х+у1.

Таким образом, областью определения данной функции является множество точек, координаты которых удовлетворяют решению системы

Первое неравенство системы перепишем в виде . Следовательно, решением этого неравенства является множество точек координатной плоскости, расположенных внутри круга с центром в начале координат, радиус которого равен 3, включая его границу.

Двойное неравенство перепишем в виде -1-ху1-х.

Решением этого двойного неравенства будет множество точек, расположенных между прямыми у=1-х и у=-1-х и на них.

Таким образом, решением системы неравенств будет пересечение найденных множеств, изображенное на рис. 4.

у

1

1

-3

-1

х

-1

-3

Рис.4

Замечание. Для выполнения этого задания потребуется знание областей определения основных элементарных функций. Напомним их (таб.1).

Таблица 1          

Функция	Область определения
или , где n - четное	х[0;+]
	x0
y=ax, a>0, a1	х(-;+)
	х(0;+)
y=sinx	х(-;+)
y=cosx	х(-;+)
y=tgx
y=ctgx
y=arcsinx	х[-1;1]
y=arccosx	х[-1;1]
y=arctgx	х(-;+)
y=arcctgx	х(-;+)

Вычислим частные производные.

При вычислении частной производной переменную у следует рассматривать как постоянную величину. Пользуясь правилами дифференцирования функции одной переменной, получим

Аналогично поступаем при вычислении частной производной . Считая, х постоянной величиной, получим

Задание 6. Рассмотрим пример.

Найти экстремумы функции .

Решение. Область определения заданной функции – вся плоскость , заданная функция дифференцируема в каждой точке из области определения.

Найдем частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, найдем стационарные точки:

Решим уравнение

Соответственно, , .

Следовательно, и – искомые стационарные точки.

Исследуем эти точки на достаточность условий экстремума. Для этого найдем значения , , и для каждой из них. Так как

тогда

а) для точки имеем:

б) для точки имеем:

Так как , то точка не является точкой экстремума; так как и , то точка является точкой локального минимума заданной функции, и

Задание 7.

Для вычисления интегралов из пункта а) следует использовать таблицу интегралов и такое свойство неопределенного интеграла, как , где F – первообразная функции f.

Например, .

Интегралы из пункта б) вычисляются методом замены переменной, основанным по формуле .

Замечание. При подборе функции, которую следует принять за новую переменную можно пользоваться тем, что производная той функции, которую мы хотим заменить всегда будет находится в знаменателе подынтегрального выражения. Если после этого происходит сокращение некоторых функций (не констант!), то выбранная нами замена будет эффективной.

Например, при вычислении интеграла за новую переменную следует принять функцию arctg2x, поскольку производная этой функции равна , так как производная от замены при подстановке всегда добавляется в знаменатель в качестве множителя, то выражение (1+4х²) сократится. Это дает основание полагать, что замена будет эффективной.

Таким образом, получаем:

При выполнении пункта в) следует воспользоваться формулой интегрирования по частям.

Для этого необходимо подынтегральное выражение разбить на две функции u и dv. Заметим, что в качестве dv следует выбирать легко интегрируемые функции, такие как sinx, cosx, e^x, и др. Кроме того, dx всегда относится к dv.

Если подынтегральная функция содержит такие функции как lnx, arcsinx, arcosx, arctgx, arcctgx, то их следует отнести к функции u.

Например, в интеграле функции следует выбрать следующим образом:

u=4x-1, dv=e^5xdx.

Найдем du и v: du=(4x-1)'dx=4dx;

Согласно формуле интегрирования по частям, имеем:

В пункте 2) предлагается проинтегрировать правильную рациональную дробь. Для этого потребуется выполнить следующие действия:

1. Разложить знаменатель дроби на элементарные множители (т.е. множители вида (x-a)^k, (ax²+bx+c)^m, где b²-4ac<0), если он еще не разложен.

2. Разложить дробь на элементарные дроби. При этом следует учитывать, что множителю (x-a)^k соответствует k дробей вида , а множителю (ax²+bx+c)^m соответствует m дробей вида .

Замечание. С множителями вида (ax²+c)^p следует действовать также, как и со множителями вида (ax²+bx+c)^m.

3. Найти значения введенных коэффициентов А,В и др. Для этого потребуется привести к общему знаменателю элементарные дроби, а затем приравнять числители получившейся дроби и исходной.

4. Вычислить интегралы от элементарных дробей, воспользовавшись таблицей интегралов.

Приведем пример.

В нашем случае знаменатель дроби уже представлен в виде произведения элементарных множителей, поэтому эту дробь можно сразу раскладывать на простейшие дроби.

Поскольку множитель (х-2) имеет степень 2, то при разложении ему будут соответствовать две простейшие дроби и . Множитель (х+9) имеет степень 1, поэтому ему соответствует одна дробь .

Таким образом, получаем:

Для нахождения коэффициентов А, В и С приведем к общему знаменателю полученную сумму элементарных дробей.

Так как начальная и конечная дроби равны между собой и имеют одинаковые знаменатели, то числители этих дробей тоже равны, т.е. 14х+5=А(х-2)(х+9)+В(х+9)+С(х-2)².

Перепишем это равенство в виде:

14х+5=(А+С)х²+(7А+В-4С)х+(9В-18А+4С).

Поскольку многочлены равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х, то в нашем случае, получим:

Отсюда находим А=1, В=3, С=-1. Таким образом, получаем, что

Значит,

Задание 8. Для вычисления заданного определенного интеграла следует использовать формулу Ньютона-Лейбница

При этом для вычисления неопределенных интегралов вида . Используются следующие тригонометрические подстановки, которые их сводят к интегралам, рационально зависящим от тригонометрических функций:

Задание 9. Рассмотрим пример.

а) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Площадь фигуры, ограниченной кривыми и , причем , прямыми и вычисляется по формуле

Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол (рис.5). Для этого решим систему уравнений

откуда или

С делаем чертеж.

Рис.5

Таким образом,

б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осью .

Решение. Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми , , , вычисляется по формуле

Найдем абсциссу точки пересечения заданной параболы и заданной прямой в первом квадранте. Для этого решим систему уравнений

откуда , Первому квадранту соответствует корень

Найдем абсциссу точки пересечения заданной прямой с осью :

Сделаем чертеж (рис.6).

Рис. 6

Таким образом, тело вращения при ограничено поверхностью, образованной вращением параболы вокруг оси , а при – вращением прямой вокруг оси .

Следовательно, искомый объем где

Значит,